Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: eixo normal: y=2, uma das assíntotas r: 2 x-y-4=0 e comprimento do latus rectum igual a 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole usando três informações:
  1. Eixo normal:
  2. Uma das assíntotas:
  3. Comprimento do latus rectum: 3
Vamos precisar lembrar de como é a equação geral da hipérbole, as propriedades das assíntotas e o que é o latus rectum. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral da equação de uma hipérbole. Dependendo da orientação da hipérbole (se abre para a direita/esquerda ou para cima/baixo), ela pode ter duas formas principais:
  1. Horizontal:
    (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
  2. Vertical:
    (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Aqui, é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado à distância das assíntotas.

Passo 3

Vamos descobrir a orientação da hipérbole. A informação de uma das assíntotas é y = 2x - 4 . Podemos reescrever essa equação na forma de inclinação:
Isso nos mostra que a inclinação da assíntota é 2.
Sabemos que, para hipérboles horizontais, as inclinações das assíntotas são . Já para verticais, são .
Como a inclinação é positiva e igual a 2, isso sugere que a hipérbole é do tipo horizontal.

Passo 4

Agora, vamos identificar o centro da hipérbole. O eixo normal dado é . Isso indica que o eixo conjugado da hipérbole está nesta linha, ou seja, o centro da hipérbole tem a coordenada y igual a 2.
Como ainda não sabemos a coordenada x do centro, vamos chamá-la de . Então, o centro é .

Passo 5

Vamos usar a inclinação das assíntotas para relacionar y - k = pm ba (x - h) e ba = 2 Rightarrow b = 2a . Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
Comparando com a equação da assíntota que temos ( ), podemos igualar as inclinações:

Passo 6

Agora, vamos usar o comprimento do latus rectum. Para hipérboles horizontais, o latus rectum L = 2b^2a é dado por:
3 = 2(2a)^2a = 8a^2a = 8a
Sabemos que a = 38 e . Substituindo:
Resolvendo para :

Passo 7

Com 2 = 2h - 4 Rightarrow 2h = 6 Rightarrow h = 3 e , podemos montar a equação da hipérbole. Ainda precisamos determinar , a coordenada x do centro.
Vamos usar a informação da assíntota . Sabemos que o centro deve satisfazer a equação das assíntotas. Substituindo na equação da assíntota:

Passo 8

Agora que temos todos os valores:
  • Centro: (x - 3)^2(38)^2 - (y - 2)^2(34)^2 = 1
  • (x - 3)^2964 - (y - 2)^2916 = 1
  • 64(x - 3)^29 - 16(y - 2)^29 = 1
A equação da hipérbole horizontal é:
64(x - 3)^2 - 16(y - 2)^2 = 9
Simplificando os denominadores:
Podemos multiplicar numerador e denominador para deixar mais limpo:
Multiplicando toda a equação por 9 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação da hipérbole é:
64(x - 3)^2 - 16(y - 2)^2 = 9

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