Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da hipérbole a partir dos elementos dados: eixo normal:
, uma das assíntotas
comprimento do latus rectum igual a 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole usando três informações:
- Eixo normal:
- Uma das assíntotas:
- Comprimento do latus rectum: 3
Vamos precisar lembrar de como é a equação geral da hipérbole, as propriedades das assíntotas e o que é o latus rectum. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da equação de uma hipérbole. Dependendo da orientação da hipérbole (se abre para a direita/esquerda ou para cima/baixo), ela pode ter duas formas principais:
-
Horizontal:
-
Vertical:
Aqui,
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado à distância das assíntotas.
Passo 3
Vamos descobrir a orientação da hipérbole. A informação de uma das assíntotas é
. Podemos reescrever essa equação na forma de inclinação:
Isso nos mostra que a inclinação da assíntota é 2.
Sabemos que, para hipérboles horizontais, as inclinações das assíntotas são
. Já para verticais, são
.
Como a inclinação é positiva e igual a 2, isso sugere que a hipérbole é do tipo horizontal.
Passo 4
Agora, vamos identificar o centro da hipérbole. O eixo normal dado é
. Isso indica que o eixo conjugado da hipérbole está nesta linha, ou seja, o centro da hipérbole tem a coordenada y igual a 2.
Como ainda não sabemos a coordenada x do centro, vamos chamá-la de
. Então, o centro é
.
Passo 5
Vamos usar a inclinação das assíntotas para relacionar
e
. Para uma hipérbole horizontal, as assíntotas são dadas por:
Comparando com a equação da assíntota que temos (
), podemos igualar as inclinações:
Passo 6
Agora, vamos usar o comprimento do latus rectum. Para hipérboles horizontais, o latus rectum
é dado por:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
e
, podemos montar a equação da hipérbole. Ainda precisamos determinar
, a coordenada x do centro.
Vamos usar a informação da assíntota
. Sabemos que o centro
deve satisfazer a equação das assíntotas. Substituindo na equação da assíntota:
Passo 8
Agora que temos todos os valores:
- Centro:
-
-
A equação da hipérbole horizontal é:
Simplificando os denominadores:
Podemos multiplicar numerador e denominador para deixar mais limpo:
Multiplicando toda a equação por 9 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação da hipérbole é: