Resolver o sistema por Eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada na forma escalonada reduzida):
l 2 x1+4 x2-x3+2 x4+7 x5=3 2 x1+4 x2-3 x3+5 x5=-5 x1+2 x2+x3+x4+2 x5=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
l 2 x1+4 x2-x3+2 x4+7 x5=3 2 x1+4 x2-3 x3+5 x5=-5 x1+2 x2+x3+x4+2 x5=6
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos usar o método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida, facilitando encontrar as soluções.
O que vamos precisar: Manipular as linhas da matriz para conseguir zeros abaixo e acima dos pivôs (os elementos principais de cada linha).

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
2 & 4 & -1 & 2 & 7 & | & 3 2 & 4 & -3 & 0 & 5 & | & -5 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & | & 6
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Nos métodos de eliminação, o objetivo é ter um “1” como primeiro elemento da primeira linha (o pivô). Podemos fazer isso dividindo a primeira linha por 2:
R1 = R12 implies 1 & 2 & -0.5 & 1 & 3.5 & | & 1.5 2 & 4 & -3 & 0 & 5 & | & -5 1 & 2 & 1 & 1 & 2 & | & 6

Passo 4

Agora, queremos zeros abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 2 times R1 implies R2 = [2 - 2(1), 4 - 2(2), -3 - 2(-0.5), 0 - 2(1), 5 - 2(3.5), |, -5 - 2(1.5)]
    Calculando:
    R2 = [0, 0, -2, -2, -2, |, -8]
  • Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - R1 implies R3 = [1 - 1, 2 - 2, 1 - (-0.5), 1 - 1, 2 - 3.5, |, 6 - 1.5]
    Calculando:
    R3 = [0, 0, 1.5, 0, -1.5, |, 4.5]
A matriz fica assim:
1 & 2 & -0.5 & 1 & 3.5 & | & 1.5 0 & 0 & -2 & -2 & -2 & | & -8 0 & 0 & 1.5 & 0 & -1.5 & | & 4.5

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda linha. Queremos ter um pivô de 1 nessa posição. Podemos multiplicar a segunda linha por R2 = -12 R2 implies 1 & 2 & -0.5 & 1 & 3.5 & | & 1.5 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 0 & 1.5 & 0 & -1.5 & | & 4.5 :

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 1.5 na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos 1.5 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 1.5 times R2 implies R3 = [0, 0, 1.5 - 1.5(1), 0 - 1.5(1), -1.5 - 1.5(1), |, 4.5 - 1.5(4)]
Calculando:
R3 = [0, 0, 0, -1.5, -3, |, -2.5]
A matriz fica:
1 & 2 & -0.5 & 1 & 3.5 & | & 1.5 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 0 & 0 & -1.5 & -3 & | & -2.5

Passo 7

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por R3 = R3-1.5 implies 1 & 2 & -0.5 & 1 & 3.5 & | & 1.5 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & | & 53 para obter um pivô de 1:

Passo 8

Agora, vamos eliminar os termos acima do pivô na terceira linha. Primeiro, na segunda linha:
R2 = R2 - 1 times R3 implies [0, 0, 1, 1 - 1(1), 1 - 2(2), |, 4 - 53]
Calculando:
R2 = [0, 0, 1, 0, -3, |, 73]
Em seguida, na primeira linha:
R1 = R1 - 1 times R3 implies [1, 2, -0.5, 1 - 1(1), 3.5 - 2(2), |, 1.5 - 53]
Calculando:
R1 = [1, 2, -0.5, 0, -0.5, |, -16]
A matriz agora é:
1 & 2 & -0.5 & 0 & -0.5 & | & -16 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & | & 73 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & | & 53

Passo 9

Por fim, eliminamos o termo R1 = R1 + 0.5 times R2 implies [1, 2, -0.5 + 0.5(1), 0 + 0.5(0), -0.5 + 0.5(-3), |, -16 + 0.5(73)] na primeira linha usando a segunda linha:
R1 = [1, 2, 0, 0, -2, |, 12]
Calculando:
1 & 2 & 0 & 0 & -2 & | & 12 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & | & 73 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & | & 53
Agora, nossa matriz está na forma escalonada reduzida:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 + 2x2 - 2x5 = 12 x3 - 3x5 = 73 x4 + 2x5 = 53
Podemos expressar x1 = 12 - 2x2 + 2x5 x3 = 73 + 3x5 x4 = 53 - 2x5 , x1 x2 x3 x4 x5 = 12 0 73 53 0 + x2 -2 1 0 0 0 + x5 2 0 3 -2 1 e em função de e , que são variáveis livres:
Ou de forma vetorial:

[

  • x_{2}
  • x_{5}

    ]
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .

Exercícios relacionados