Resolver o sistema por Eliminação de Gauss-Jordan (matriz aumentada na forma escalonada reduzida):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos usar o método de Eliminação de Gauss-Jordan, que transforma a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida, facilitando encontrar as soluções.
O que vamos precisar: Manipular as linhas da matriz para conseguir zeros abaixo e acima dos pivôs (os elementos principais de cada linha).

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, uma variável, com a última coluna sendo os termos constantes.

Passo 3

Nos métodos de eliminação, o objetivo é ter um “1” como primeiro elemento da primeira linha (o pivô). Podemos fazer isso dividindo a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos zeros abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Calculando:
  • Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
    Calculando:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda linha. Queremos ter um pivô de 1 nessa posição. Podemos multiplicar a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 1.5 na terceira linha usando a segunda linha. Subtraímos 1.5 vezes a segunda linha da terceira linha:
Calculando:
A matriz fica:

Passo 7

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por para obter um pivô de 1:

Passo 8

Agora, vamos eliminar os termos acima do pivô na terceira linha. Primeiro, na segunda linha:
Calculando:
Em seguida, na primeira linha:
Calculando:
A matriz agora é:

Passo 9

Por fim, eliminamos o termo na primeira linha usando a segunda linha:
Calculando:
Agora, nossa matriz está na forma escalonada reduzida:

Resposta

As soluções do sistema são:
Podemos expressar , e em função de e , que são variáveis livres:
Ou de forma vetorial:

[

  • x_{2}
  • x_{5}

    ]
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções dependendo dos valores escolhidos para e .

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Dada a matriz aumentada do seguinte sistema linear:
Use o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em forma escalonada.
Seja a matriz .
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