Prove que se B é uma inversa generalizada de A, então B A B também é uma inversa generalizada de A .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz e uma matriz que é uma inversa generalizada de . Nosso objetivo é provar que a matriz também é uma inversa generalizada de . Para isso, vamos precisar entender o conceito de inversa generalizada e aplicar algumas propriedades de matrizes.

Passo 2

Uma inversa generalizada de uma matriz é uma matriz que satisfaz a condição . Isso significa que, mesmo que não seja inversível no sentido tradicional (ou seja, não tenha uma inversa única ), ainda podemos encontrar uma matriz que “funciona” como uma inversa em certa medida.

Passo 3

Queremos mostrar que também é uma inversa generalizada de . Para isso, precisamos verificar se .

Passo 4

Vamos calcular A(BAB)A = (AB)(AB)A :
Mas sabemos que porque é uma inversa generalizada de .

Passo 5

Substituímos A(BAB)A = A cdot B cdot A = A por na expressão acima:
Portanto, , o que confirma que satisfaz a condição de ser uma inversa generalizada de .

Resposta

Assim, provamos que se é uma inversa generalizada de , então também é uma inversa generalizada de .

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear abaixo:
l 2 x+3 y+z=1 x-y+2 z=7 3 x+2 y-z=4
(a) Resolva o sistema utilizando o método de escalonamento (eliminação de Gauss).
Dada a matriz
A=[cc9 & -2 -2 & 6]
a)Determine suas raízes e vetores característicos.
b)Determine a decomposição espectral de A.
c) Obtenha A^-1 através do resultado do exercício anterior.
d)Determine P tal que A= P.P.
Dada a equação da quádric:
x^2+4 y^2+9 z^2-4 x+16 y+18 z=15
(b) Classifique a quádrica e faça um esboço.
Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
a) A+B
b) 2 A+3 B
c) -3 A-B
d) 5 A+5 B
e) 5(A+B)