Prove que se
é uma inversa generalizada de
, então
também é uma inversa generalizada de A .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz
e uma matriz
que é uma inversa generalizada de
. Nosso objetivo é provar que a matriz
também é uma inversa generalizada de
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de inversa generalizada e aplicar algumas propriedades de matrizes.
Passo 2
Uma inversa generalizada de uma matriz
é uma matriz
que satisfaz a condição
. Isso significa que, mesmo que
não seja inversível no sentido tradicional (ou seja, não tenha uma inversa única
), ainda podemos encontrar uma matriz
que “funciona” como uma inversa em certa medida.
Passo 3
Queremos mostrar que
também é uma inversa generalizada de
. Para isso, precisamos verificar se
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Mas sabemos que
porque
é uma inversa generalizada de
.
Passo 5
Substituímos
por
na expressão acima:
Portanto,
, o que confirma que
satisfaz a condição de ser uma inversa generalizada de
.
Resposta
Assim, provamos que se
é uma inversa generalizada de
, então
também é uma inversa generalizada de
.