Para quais valores de , o sistema de equações lineares
é possível e determinado? Para quais valores o sistema é impossível?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de esse sistema tem uma única solução (é possível e determinado) e para quais valores o sistema não tem solução (é impossível).
Passo 2
Vamos escrever as equações do sistema:
k x + 2 y = 6 (1) 3 x - y = -2 (2) x + y = 0 (3)
Passo 3
Vamos resolver o sistema usando o método de substituição. Primeiro, da equação (3), podemos expressar y = -x em termos de :
Passo 4
Agora, substituímos 3 x - (-x) = -2 3x + x = -2 4x = -2 x = -24 x = -12 na equação (2):
Passo 5
Com y = -(-12) y = 12 , substituímos de volta na expressão :
Passo 6
Agora, temos os valores de k (-12) + 2 (12) = 6 -k2 + 1 = 6 -k2 = 6 - 1 -k2 = 5 k = -10 e em termos de . Vamos verificar a equação (1) para garantir que essas soluções satisfazem todas as equações:
Resposta
O sistema é possível e determinado somente para . Para qualquer outro valor de , o sistema é impossível.