Dadas as matrizes A = ((1 0) (1 1)) e B = [[-1, 2], [2, 2]], obter as matrizes X e Y tais que: { X + 2 Y = 7 A - 2 B 2 X - Y = 4 A + B }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas matrizes, X e Y, que satisfazem o seguinte sistema de equações matriciais:
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações lineares envolvendo matrizes. Vamos precisar usar técnicas de álgebra linear para resolver esse sistema e encontrar X e Y.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as combinações lineares do que está no lado direito das equações para simplificar nosso sistema. Vamos calcular e .
Dadas as matrizes:
Vamos calcular cada termo:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Agora que temos as expressões do lado direito, nosso sistema fica assim:
Vamos resolver esse sistema para encontrar X e Y. Podemos usar o método de eliminação.

Passo 4

Primeiro, vamos tentar isolar uma das matrizes. Vamos isolar Y na primeira equação:
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir essa expressão de Y na segunda equação do sistema:
Substituindo Y:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Somando os termos com X:
Ou seja,

Passo 7

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para eliminar o denominador:
Agora, vamos isolar :

Passo 8

Agora, para encontrar X, dividimos ambos os lados por 5:

Passo 9

Agora que temos X, vamos substituir de volta na expressão que encontramos para Y no Passo 4:

Resposta

As matrizes que satisfazem o sistema são:

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