Determinar m para que as retas r1 e r2 sejam ortogonais.
r1:(x, y, z)=(-3,1,0)+t(2 m, 3,-4), t in R e r2:(x, y, z)=(-1,0,4)+t(2,1,-1), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor de de forma que as retas e sejam ortogonais. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre retas e vetores no espaço tridimensional. A gente vai precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores para determinar se eles são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das duas retas. Para a reta , o vetor direcional é . Para a reta , o vetor direcional é .

Passo 3

Duas retas são ortogonais se seus vetores direcionais são perpendiculares. Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Ou seja, precisamos calcular .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar:
v1 cdot v2 = (2m) times 2 + 3 times 1 + (-4) times (-1)
Calculando cada termo:
(2m) times 2 = 4m
3 times 1 = 3
(-4) times (-1) = 4
Então,
4m + 3 + 4 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 4m + 7 = 0 :
4m = -7
Subtraindo 7 de ambos os lados:
m = -74
Dividindo por 4:

Resposta

O valor de que torna as retas e ortogonais é .

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