Determinar
para que as retas
e
sejam ortogonais.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor de
de forma que as retas
e
sejam ortogonais. Isso envolve o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre retas e vetores no espaço tridimensional. A gente vai precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores para determinar se eles são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das duas retas. Para a reta
, o vetor direcional é
. Para a reta
, o vetor direcional é
.
Passo 3
Duas retas são ortogonais se seus vetores direcionais são perpendiculares. Para vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. Ou seja, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Dividindo por 4:
Resposta
O valor de
que torna as retas
e
ortogonais é
.