Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma matriz específica, que é a matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0, é diagonalizável. Estamos falando de Álgebra Linear aqui, mais precisamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e as condições para uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Igualando a zero:
-lambda^3 = 0 implies lambda = 0
Então, o único autovalor é , com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica desse autovalor, ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Para isso, encontramos o espaço nulo de 0x1 + 1x2 + 0x3 = 0 0x1 + 0x2 + 1x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 :
x2 = 0 e x3 = 0
Resolvendo x1 0 0:
Das equações acima, temos:
pode ser qualquer número real. Então, o espaço próprio é gerado pelos vetores da forma , o que significa que a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 5
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades geométricas deve ser igual à dimensão da matriz.
Aqui, temos:
Multiplicidade algébrica de : 3
Multiplicidade geométrica de : 1
Como 1 3, a condição para diagonalização não é atendida.