Encontre um vetor de comprimento 5 que tem a mesma direção, e sentido contrário ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que tenha comprimento 5 e que a direção dele seja a mesma, mas com o sentido oposto ao vetor . Então, vamos trabalhar com vetores, especificamente com a magnitude (ou comprimento) e a direção deles. Para isso, vamos precisar calcular a magnitude do vetor original, normalizar esse vetor (ou seja, torná-lo unitário), inverter a direção e, por fim, ajustar a magnitude para 5.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor . A magnitude de um vetor é dada pela fórmula:
Substituindo os valores de :
Passo 3
Agora, vamos normalizar o vetor . Normalizar significa criar um vetor unitário, ou seja, com magnitude igual a 1, que mantém a mesma direção do vetor original. Para isso, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude:
Passo 4
Como queremos que o vetor tenha o mesmo sentido, mas o sentido contrário ao vetor original, vamos inverter a direção do vetor unitário. Isso é feito multiplicando cada componente por -1:
Passo 5
Finalmente, ajustamos a magnitude do vetor inverso para que seja igual a 5. Para isso, multiplicamos cada componente do vetor unitário inverso pelo comprimento desejado:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
O vetor de comprimento 5 com a mesma direção e sentido contrário ao vetor é: