Encontre um vetor de comprimento 5 que tem a mesma direção, e sentido contrário ao vetor u=(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor que tenha comprimento 5 e que a direção dele seja a mesma, mas com o sentido oposto ao vetor u = (1, 2, 3). Então, vamos trabalhar com vetores, especificamente com a magnitude (ou comprimento) e a direção deles. Para isso, vamos precisar calcular a magnitude do vetor original, normalizar esse vetor (ou seja, torná-lo unitário), inverter a direção e, por fim, ajustar a magnitude para 5.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude do vetor u. A magnitude de um vetor u = (u1, u2, u3) é dada pela fórmula:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Substituindo os valores de u:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 3

Agora, vamos normalizar o vetor u. Normalizar significa criar um vetor unitário, ou seja, com magnitude igual a 1, que mantém a mesma direção do vetor original. Para isso, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude:
uunitário = ( 1raiz14, 2raiz14, 3raiz14 ) á

Passo 4

Como queremos que o vetor tenha o mesmo sentido, mas o sentido contrário ao vetor original, vamos inverter a direção do vetor unitário. Isso é feito multiplicando cada componente por -1:
uinverso = ( -1raiz14, -2raiz14, -3raiz14 )

Passo 5

Finalmente, ajustamos a magnitude do vetor inverso para que seja igual a 5. Para isso, multiplicamos cada componente do vetor unitário inverso pelo comprimento desejado:
v = 5 times uinverso = ( -5raiz14, -10raiz14, -15raiz14 )
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
v = ( -5raiz1414, -10raiz1414, -15raiz1414 ) = ( -5raiz1414, -5raiz147, -15raiz1414 )

Resposta

O vetor de comprimento 5 com a mesma direção e sentido contrário ao vetor u = (1, 2, 3) é:
v = ( -5raiz1414, -5raiz147, -15raiz1414 )

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