Resolva dois dos ítens abaixo.
Calcule a projeção ortogonal de u=(6,2,1) à a=(3,-9,0) e a componente de u, ortogonal a a.

Passo 1

Beleza, temos que calcular duas coisas aqui: a projeção ortogonal do vetor u = (6,2,1) sobre o vetor a = (3,-9,0) e a componente de u que é ortogonal a a. Vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção ortogonal de u em a. A fórmula para a projeção de u em a é:
proja u = ( u cdot aa cdot a ) a
Aqui, u cdot a representa o produto escalar dos vetores u e a, e a cdot a é o produto escalar de a consigo mesmo, que também é igual ao quadrado da norma de a.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot a:
u cdot a = (6)(3) + (2)(-9) + (1)(0) = 18 - 18 + 0 = 0
E o produto escalar a cdot a:
a cdot a = (3)^2 + (-9)^2 + (0)^2 = 9 + 81 + 0 = 90

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
proja u = ( 090 ) a = 0 cdot a = (0, 0, 0)
Então, a projeção de u sobre a é o vetor nulo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a componente de u que é ortogonal a a. Isso é simplesmente u menos sua projeção em a:
uperp = u - proja u = (6,2,1) - (0,0,0) = (6,2,1)

Resposta

A projeção ortogonal de u em a é (0, 0, 0) e a componente de u ortogonal a a é (6, 2, 1).

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