Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em polinômios do espaço . O que a questão está pedindo é, dado um polinômio representado na base , encontrar sua representação na base . Para isso, vamos precisar entender como as bases e estão definidas e como transformar as coordenadas de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 1 2 4. Isso quer dizer que o polinômio p = 1 cdot (1 + x) + 2 cdot (x - x^2) + 4 cdot (1 - 2x - x^2) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
Passo 3
Vamos expandir essa combinação para encontrar os coeficientes do polinômio p &= 1 cdot (1 + x) + 2 cdot (x - x^2) + 4 cdot (1 - 2x - x^2) &= (1 + x) + (2x - 2x^2) + (4 - 8x - 4x^2) &= (1 + 4) + (x + 2x - 8x) + (-2x^2 - 4x^2) &= 5 - 5x - 6x^2 na forma padrão a = -6, b = -5, c = 5 :
Então, identificamos que:
Passo 4
Agora, queremos expressar p = c1 cdot (1 + x^2) + c2 cdot x + c3 cdot (x + x^2) na base . Isso significa que buscamos números , e tais que:
Passo 5
Vamos expandir essa expressão:
p = c1 cdot 1 + c1 cdot x^2 + c2 cdot x + c3 cdot x + c3 cdot x^2