Sejam P3=p=a x^2+b x+c mid a, b, c in R, alpha=1+x, x-x^2, 1-2 x-x^2 e beta=1+x^2, x, x+x^2.
(b) Se[p]alpha=[l1 2 4], determinar [p]beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base em polinômios do espaço . O que a questão está pedindo é, dado um polinômio representado na base , encontrar sua representação na base . Para isso, vamos precisar entender como as bases e estão definidas e como transformar as coordenadas de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 1 2 4. Isso quer dizer que o polinômio p = 1 cdot (1 + x) + 2 cdot (x - x^2) + 4 cdot (1 - 2x - x^2) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :

Passo 3

Vamos expandir essa combinação para encontrar os coeficientes do polinômio p &= 1 cdot (1 + x) + 2 cdot (x - x^2) + 4 cdot (1 - 2x - x^2) &= (1 + x) + (2x - 2x^2) + (4 - 8x - 4x^2) &= (1 + 4) + (x + 2x - 8x) + (-2x^2 - 4x^2) &= 5 - 5x - 6x^2 na forma padrão a = -6, b = -5, c = 5 :
Então, identificamos que:

Passo 4

Agora, queremos expressar p = c1 cdot (1 + x^2) + c2 cdot x + c3 cdot (x + x^2) na base . Isso significa que buscamos números , e tais que:

Passo 5

Vamos expandir essa expressão:
p = c1 cdot 1 + c1 cdot x^2 + c2 cdot x + c3 cdot x + c3 cdot x^2
Agrupando os termos semelhantes:
p = c1 + (c2 + c3) cdot x + (c1 + c3) cdot x^2

Passo 6

Sabemos que c1 = 5 c2 + c3 = -5 c1 + c3 = -6 . Vamos igualar os coeficientes correspondentes:

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Substituindo na segunda equação: .

Passo 8

Então, encontramos que:
c1 = 5, c2 = 6, c3 = -11
Portanto, a representação de [p]beta = 5 6 -11 na base é:

Resposta

A representação de [p]beta = 5 6 -11 na base é:

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Resolva dois dos ítens abaixo.
Calcule a projeção ortogonal de u=(6,2,1) à a=(3,-9,0) e a componente de u, ortogonal a a.
Dada a matriz A=|lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0| :
Té diagonalizável?
Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), de componentes reais. Para u=(u1, u2), v=(v1, v2) in V e alpha número real, defina a operação de adição de u e v por u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e alpha u=(alpha u1, alpha u2).
Para u=(2,4), v=(-1,-3) e alpha=2, calcule alpha u+v.
Dada a matruz A=(rrr4 & -5 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1) calcule a polinômio minımal.