Dada a matriz calcule:
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte © do exercício que pede para calcular a inversa da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, a gente vai precisar usar o determinante da matriz, a matriz de cofatores, a matriz adjunta e, por fim, aplicar a fórmula da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Agora substituímos de volta:

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores de .
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de . O cofator é dado por:
onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:

Passo 4

Agora vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa da matriz , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Podemos simplificar isso multiplicando cada elemento da adjunta por :

Resposta

A inversa da matriz é:

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Determine a solução para a equação: .
Encontre a inversa das matrizes abaixo:
(a)
Sejam e um conjunto de vetores em . Mostre que é uma base de e calcule e .