Dada a matriz A=[rrr2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3] calcule:
© A^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte © do exercício que pede para calcular a inversa da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, a gente vai precisar usar o determinante da matriz, a matriz de cofatores, a matriz adjunta e, por fim, aplicar a fórmula da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 1 & -3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3 . O determinante nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz det(A) = 2 cdot 2 & 1 1 & 3 - 1 cdot 0 & 1 5 & 3 + (-3) cdot 0 & 2 5 & 1 é:
2 & 1 1 & 3 = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
0 & 1 5 & 3 = (0)(3) - (1)(5) = 0 - 5 = -5
Calculando os menores:
0 & 2 5 & 1 = (0)(1) - (2)(5) = 0 - 10 = -10
det(A) = 2 cdot 5 - 1 cdot (-5) + (-3) cdot (-10) = 10 + 5 + 30 = 45
Agora substituímos de volta:

Passo 3

Como o determinante Cij = (-1)^i+j cdot Mij é diferente de zero, a matriz M11 = 2 & 1 1 & 3 = 5 tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores de C11 = (-1)^1+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5 .
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de M12 = 0 & 1 5 & 3 = -5 . O cofator C12 = (-1)^1+2 cdot (-5) = -1 cdot (-5) = 5 é dado por:
M13 = 0 & 2 5 & 1 = -10
onde C13 = (-1)^1+3 cdot (-10) = 1 cdot (-10) = -10 é o menor complementar do elemento M21 = 1 & -3 1 & 3 = (1)(3) - (-3)(1) = 3 + 3 = 6 .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot 6 = -1 cdot 6 = -6 :
M22 = 2 & -3 5 & 3 = (2)(3) - (-3)(5) = 6 + 15 = 21
C22 = (-1)^2+2 cdot 21 = 1 cdot 21 = 21
  1. Cofator M23 = 2 & 1 5 & 1 = (2)(1) - (1)(5) = 2 - 5 = -3 :
C23 = (-1)^2+3 cdot (-3) = -1 cdot (-3) = 3
M31 = 1 & -3 2 & 1 = (1)(1) - (-3)(2) = 1 + 6 = 7
  1. Cofator C31 = (-1)^3+1 cdot 7 = 1 cdot 7 = 7 :
M32 = 2 & -3 0 & 1 = (2)(1) - (-3)(0) = 2 - 0 = 2
C32 = (-1)^3+2 cdot 2 = -1 cdot 2 = -2
  1. Cofator M33 = 2 & 1 0 & 2 = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4 :
C33 = (-1)^3+3 cdot 4 = 1 cdot 4 = 4
C = 5 & 5 & -10 -6 & 21 & 3 7 & -2 & 4
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:

Passo 4

Agora vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas.
Adj(A) = C^T = 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) , usamos a fórmula:
A^-1 = 145 cdot 5 & -6 & 7 5 & 21 & -2 -10 & 3 & 4
Substituindo os valores que já calculamos:
A^-1 = 545 & -645 & 745 545 & 2145 & -245 -1045 & 345 & 445 = 19 & -215 & 745 19 & 715 & -245 -29 & 115 & 445
Podemos simplificar isso multiplicando cada elemento da adjunta por :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 19 & -215 & 745 19 & 715 & -245 -29 & 115 & 445 é:

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