Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz tem inversa ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Agora substituímos de volta:
Passo 3
Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores de .
A matriz de cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de . O cofator é dado por:
onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz de cofatores é:
Passo 4
Agora vamos calcular a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a inversa da matriz , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Podemos simplificar isso multiplicando cada elemento da adjunta por :