Determine a solução para a equação: y^prime+y tan (x)=sec ^2(x) y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial: . Essa equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente é uma Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e transforma ela em uma equação linear que a gente sabe como resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli:
y^prime + P(x)y = Q(x)y^n
No nosso caso, , e .

Passo 3

A ideia é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em linear. Vamos definir:
z = y^1 - n = y^-1
Então, a derivada de z^prime = -y^-2 y^prime em relação a y^prime = -y^2 z^prime é:
Ou seja:

Passo 4

Agora, substituímos -y^2 z^prime + y tan(x) = sec^2(x) y^2 na equação original:
-z^prime + tan(x)y = sec^2(x)
Dividindo tudo por -z^prime + z tan(x) = sec^2(x) para simplificar:
z^prime - z tan(x) = -sec^2(x)
Mas lembrando que z^prime + P(x)z = Q(x) , então . Substituindo:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação linear na forma padrão:
Onde e .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -tan(x) dx
Sabemos que mu(x) = e^ln|cos(x)| = cos(x) , então:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por cos(x) z^prime - cos(x) z tan(x) = -cos(x) sec^2(x) :
cos(x) z^prime - z sin(x) = -sec(x)
Simplificando:

Passo 7

A equação agora pode ser escrita como:
ddx [mu(x) z] = mu(x) Q(x)
Ou seja:
ddx [cos(x) z] = -sec(x)
Integrando ambos os lados:
cos(x) z = -integral sec(x) dx + C
Sabemos que cos(x) z = -ln|sec(x) + tan(x)| + C , então:

Passo 8

Agora, resolvemos para z = -ln|sec(x) + tan(x)| + Ccos(x) :
y = cos(x)-ln|sec(x) + tan(x)| + C
Lembrando que y = cos(x)C - ln|sec(x) + tan(x)| :
Podemos simplificar o sinal:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = cos(x)C - ln|sec(x) + tan(x)|
onde é a constante de integração.

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