Determine a solução para a equação:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial:
. Essa equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente é uma Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e transforma ela em uma equação linear que a gente sabe como resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
A ideia é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em linear. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou seja:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação original:
Dividindo tudo por
para simplificar:
Mas lembrando que
, então
. Substituindo:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação linear na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 7
A equação agora pode ser escrita como:
Ou seja:
Integrando ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
:
Podemos simplificar o sinal:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.