Determine a solução para a equação: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial: . Essa equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente é uma Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação e transforma ela em uma equação linear que a gente sabe como resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de Bernoulli:
No nosso caso, , e .

Passo 3

A ideia é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em linear. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Ou seja:

Passo 4

Agora, substituímos na equação original:
Dividindo tudo por para simplificar:
Mas lembrando que , então . Substituindo:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação linear na forma padrão:
Onde e .

Passo 5

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
Sabemos que , então:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por :
Simplificando:

Passo 7

A equação agora pode ser escrita como:
Ou seja:
Integrando ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Lembrando que :
Podemos simplificar o sinal:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Encontre a inversa das matrizes abaixo:
(a)
Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano , e que é concorrente com as retas
Dada a matriz calcule:
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