Sejam
e
um conjunto de vetores em
. Mostre que
é uma base de
e calcule
e
.
Passo 1
Aqui a gente tem um conjunto de vetores
no espaço vetorial
. A questão quer mostrar que
é uma base de
e também calcular as coordenadas dos vetores
e
nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço. Depois, vamos usar a representação de coordenadas em uma base para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma base de
. Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os vetores em
são linearmente independentes e se geram todo o espaço
. Em
, basta ter dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para serem uma base.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Suponha que exista
e
tais que:
Isso resulta no sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira equação:
Então,
. Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como
é um conjunto de dois vetores linearmente independentes em
, ela é uma base de
.
Passo 6
Agora, vamos calcular as coordenadas de
na base
. Ou seja, encontrar
e
tais que:
Isso dá o sistema:
Passo 7
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Portanto,
.
Passo 9
Para encontrar as coordenadas de
na base
, vamos generalizar o processo. Precisamos resolver:
Isso resulta no sistema:
Passo 10
Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 11
Assim,
.