Sejam e um conjunto de vetores em . Mostre que é uma base de e calcule e .
Passo 1
Aqui a gente tem um conjunto de vetores no espaço vetorial . A questão quer mostrar que é uma base de e também calcular as coordenadas dos vetores e nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço. Depois, vamos usar a representação de coordenadas em uma base para encontrar e .
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que é uma base de . Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os vetores em são linearmente independentes e se geram todo o espaço . Em , basta ter dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para serem uma base.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Suponha que exista e tais que:
Isso resulta no sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, . Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como é um conjunto de dois vetores linearmente independentes em , ela é uma base de .
Passo 6
Agora, vamos calcular as coordenadas de na base . Ou seja, encontrar e tais que:
Isso dá o sistema:
Passo 7
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Passo 8
Portanto, .
Passo 9
Para encontrar as coordenadas de na base , vamos generalizar o processo. Precisamos resolver: