Sejam e um conjunto de vetores em . Mostre que é uma base de e calcule e .

Passo 1

Aqui a gente tem um conjunto de vetores no espaço vetorial . A questão quer mostrar que é uma base de e também calcular as coordenadas dos vetores e nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço. Depois, vamos usar a representação de coordenadas em uma base para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é uma base de . Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os vetores em são linearmente independentes e se geram todo o espaço . Em , basta ter dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para serem uma base.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Suponha que exista e tais que:
Isso resulta no sistema:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
Então, . Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como é um conjunto de dois vetores linearmente independentes em , ela é uma base de .

Passo 6

Agora, vamos calcular as coordenadas de na base . Ou seja, encontrar e tais que:
Isso dá o sistema:

Passo 7

Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:

Passo 8

Portanto, .

Passo 9

Para encontrar as coordenadas de na base , vamos generalizar o processo. Precisamos resolver:
Isso resulta no sistema:

Passo 10

Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:

Passo 11

Assim, .

Resposta

é uma base de , e .

Exercícios relacionados

Dada a matriz calcule:
©
Seja o espaço vetorial de todas as funções reais contínuas. Quais dos subconjuntos abaixo são em .
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
Escreva equaçōes vetorial e paramétricas para os planos descritos abaixo:
a) passa por e e é paralelo go vetor .
b) passa por e e é paralelo ao segmento CD , onde e
c) passa pelos pontos e .
d) passa pelos pontos e