Sejam V=R^2 e beta=(2,1),(1,-1) um conjunto de vetores em V. Mostre que beta é uma base de R^2 e calcule [(4,-1)]beta e [(x, y)]beta.

Passo 1

Aqui a gente tem um conjunto de vetores beta = (2,1), (1,-1) no espaço vetorial V = R^2. A questão quer mostrar que beta é uma base de R^2 e também calcular as coordenadas dos vetores (4,-1) e (x, y) nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço. Depois, vamos usar a representação de coordenadas em uma base para encontrar [(4,-1)]beta e [(x, y)]beta.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que beta é uma base de R^2. Para isso, precisamos verificar duas coisas: se os vetores em beta são linearmente independentes e se geram todo o espaço R^2. Em R^2, basta ter dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para serem uma base.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores (2,1) e (1,-1) são linearmente independentes. Suponha que exista a e b tais que:
a(2,1) + b(1,-1) = (0,0)
Isso resulta no sistema:
2a + b = 0 a - b = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, a = b. Substituindo na primeira equação:
2a + a = 0 Rightarrow 3a = 0 Rightarrow a = 0
Então, b = 0. Como a única solução é trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como beta é um conjunto de dois vetores linearmente independentes em R^2, ela é uma base de R^2.

Passo 6

Agora, vamos calcular as coordenadas de (4,-1) na base beta. Ou seja, encontrar a e b tais que:
a(2,1) + b(1,-1) = (4,-1)
Isso dá o sistema:
2a + b = 4 a - b = -1

Passo 7

Somando as duas equações:
(2a + b) + (a - b) = 4 + (-1) 3a = 3 Rightarrow a = 1
Substituindo a = 1 na segunda equação:
1 - b = -1 Rightarrow b = 2

Passo 8

Portanto, [(4,-1)]beta = 12.

Passo 9

Para encontrar as coordenadas de (x, y) na base beta, vamos generalizar o processo. Precisamos resolver:
a(2,1) + b(1,-1) = (x,y)
Isso resulta no sistema:
2a + b = x a - b = y

Passo 10

Somando as duas equações:
3a = x + y Rightarrow a = x + y3
Substituindo a na segunda equação:
x + y3 - b = y Rightarrow b = x + y3 - y = x + y - 3y3 = x - 2y3

Passo 11

Assim, [(x, y)]beta = dfracx + y3 dfracx - 2y3.

Resposta

beta é uma base de R^2, [(4,-1)]beta = 12 e [(x, y)]beta = dfracx + y3 dfracx - 2y3.

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