Encontre a solução para a equação de Bernoulli: y^prime=5 y-4 y^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial de Bernoulli:
y' = 5y - 4y^3
Isso pertence ao estudo de equações diferenciais não lineares, especificamente da forma de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma essa equação em uma linear.

Passo 2

A equação de Bernoulli tem a forma geral:
y' + P(x)y = Q(x)y^n
Comparando com a nossa equação:
y' - 5y = -4y^3
Aqui, temos:

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
z = y^1 - n = y^1 - 3 = y^-2

Passo 4

Agora, vamos derivar z' = ddx(y^-2) = -2y^-3y' em relação a y' = -12 y^3 z' :
Rearranjando:

Passo 5

Substituímos -12 y^3 z' - 5y = -4y^3 na equação original:
-12 z' - 5y^2 = -4
Dividindo ambos os lados por -12 z' - 5z = -4 (assumindo ):
Como , temos:

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
z' + 10z = 8

Passo 7

Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante mu(x) = e^integral 10 dx = e^10x :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^10x z' + 10e^10x z = 8e^10x
Isso simplifica para:
ddx(e^10x z) = 8e^10x

Passo 9

Integrando ambos os lados:
e^10x z = integral 8e^10x dx + C
Calculando a integral:
e^10x z = 810 e^10x + C
z = 45 + Ce^-10x

Passo 10

Lembrando que y^-2 = 45 + Ce^-10x , substituímos de volta:
y^2 = 145 + Ce^-10x = 54 + 5Ce^-10x
Invertendo ambos os lados:
y = pm raiz54 + 5Ce^-10x
Finalmente, tirando a raiz quadrada:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = pm raiz54 + 5Ce^-10x
onde é a constante de integração.

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