Encontre a solução para a equação de Bernoulli:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial de Bernoulli:
Isso pertence ao estudo de equações diferenciais não lineares, especificamente da forma de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição que transforma essa equação em uma linear.
Passo 2
A equação de Bernoulli tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando:
Passo 5
Substituímos
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Como
, temos:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Passo 7
Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados:
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.