Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
f) 4 p-2p^2-6 p+18

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar a função a partir da sua transformada de Laplace . Vamos utilizar conhecimentos de transformadas de Laplace e técnicas de álgebra para simplificar a expressão e encontrar .

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador da fração p^2 - 6p + 18 = (p - 3)^2 + 9 . Para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace, vamos completar o quadrado:
Isso nos ajuda a reconhecer uma forma padrão da transformada de Laplace que envolve expoentes e funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, reescrevemos a função F(p) = 4p - 2(p - 3)^2 + 9 utilizando o resultado do passo anterior:
4p - 2 = 4(p - 3) + 10
Para simplificar, vamos expressar o numerador em termos de F(p) = 4(p - 3) + 10(p - 3)^2 + 9 = 4(p - 3)(p - 3)^2 + 9 + 10(p - 3)^2 + 9 :
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, identificamos cada termo com as transformadas de Laplace conhecidas. Sabemos que:
Le^at cos(bt) = p - a(p - a)^2 + b^2
Le^at sin(bt) = b(p - a)^2 + b^2
Comparando com nossa expressão, temos f(x) = 4e^3x cos(3x) + 103 e^3x sin(3x) e . Assim, aplicando a transformada inversa:

Resposta

f(x) = e^3x (4 cos(3x) + 103 sin(3x))

Exercícios relacionados

Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
a) 7(p-1)^3
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
a) 3,8 x e^2,4 x
9
Resolva, usando transformada de Laplace, o seguinte (P.V.I)
l y^prime prime+4 y^prime+13 y=2 x+3 e^-2 x cos (3 x) y(0)=0, y^prime(0)=-1
(Resp. y=-8169+213 x+8169 e^-2 x cos (3 x)-179507 e^-2 x sin (3 x)+ 12 x e^-2 x sin (3 x))
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
h) f(x)=cos (2 pi x)