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Resolva, usando transformada de Laplace, o seguinte (P.V.I)
(Resp.
Resolva, usando transformada de Laplace, o seguinte (P.V.I)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação de segunda ordem com condições iniciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Passo 3
Vamos transformar cada termo da esquerda separadamente. Sabemos que:
Substituindo os valores iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador
. Completando o quadrado:
Então:
Passo 6
Vamos separar os termos:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente, utilizando tabelas e propriedades conhecidas:
- Para
, usamos convolução. - Para
, reconhecemos a transformada de . - Para
, usamos a transformada de .
Passo 8
Após aplicar as transformadas inversas e simplificar, obtemos a solução da equação diferencial:
Resposta
Exercícios relacionados
Dada
, obtenha
.
f)
f)
Dada
, obtenha
.
a)
a)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
h)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
k)