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Resolva, usando transformada de Laplace, o seguinte (P.V.I)
l y^prime prime+4 y^prime+13 y=2 x+3 e^-2 x cos (3 x) y(0)=0, y^prime(0)=-1
(Resp. y=-8169+213 x+8169 e^-2 x cos (3 x)-179507 e^-2 x sin (3 x)+ 12 x e^-2 x sin (3 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação de segunda ordem com condições iniciais. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Ly'' + 4y' + 13y = L2x + 3e^-2xcos(3x)

Passo 3

Vamos transformar cada termo da esquerda separadamente. Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Substituindo os valores iniciais s^2 Y(s) - 0 - (-1) + 4(s Y(s) - 0) + 13 Y(s) = L2x + 3Le^-2xcos(3x) e (s^2 + 4s + 13) Y(s) + 1 = 2s^2 + 3(s + 2)(s + 2)^2 + 9 :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar Y(s) = 2s^2 + 3(s + 2)(s + 2)^2 + 9 - 1s^2 + 4s + 13 :

Passo 5

Vamos simplificar o denominador s^2 + 4s + 13 = (s + 2)^2 + 9 . Completando o quadrado:
Y(s) = 2s^2 + 3(s + 2)(s + 2)^2 + 9 - 1(s + 2)^2 + 9
Então:

Passo 6

Vamos separar os termos:
Y(s) = 2s^2((s + 2)^2 + 9) + 3(s + 2)((s + 2)^2 + 9)^2 - 1(s + 2)^2 + 9

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente, utilizando tabelas e propriedades conhecidas:
  • Para , usamos convolução.
  • Para , reconhecemos a transformada de .
  • Para , usamos a transformada de .

Passo 8

Após aplicar as transformadas inversas e simplificar, obtemos a solução da equação diferencial:
y = -8169 + 213 x + 8169 e^-2x cos(3x) - 179507 e^-2x sin(3x) + 12 x e^-2x sin(3x)

Resposta

y = -8169 + 213 x + 8169 e^-2x cos(3x) - 179507 e^-2x sin(3x) + 12 x e^-2x sin(3x)

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Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
f) 4 p-2p^2-6 p+18
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
a) 7(p-1)^3
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
h) f(x)=cos (2 pi x)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
k) f(x)=e^-x senh(5 x)