Dada , obtenha . Mostre os detalhes do que fizer. ( são constantes.)
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a transformada de Laplace de uma função , que é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar , ou seja, a função original antes da transformada. Para isso, vamos usar propriedades da transformada de Laplace, especificamente a tabela de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de :
Podemos fatorar no denominador para facilitar a comparação com as fórmulas conhecidas da transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais:
Isso deixa a expressão mais parecida com a forma padrão da transformada inversa que conhecemos.
Passo 4
A transformada de Laplace inversa que vamos usar é:
Comparando com nossa expressão, vemos que .
Passo 5
Aplicando a transformada inversa:
Substituindo f(x) = n piL cdot Ln pi sin(n piLx) = sin(n piLx) :