Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
j) f(x)=e^2 x cosh (x)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar funções exponenciais e hiperbólicas usando as propriedades da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno, cosh(x) = e^x + e^-x2 , pode ser escrita em termos de exponenciais:
Isso vai ajudar a simplificar nossa função antes de aplicar a transformada.

Passo 3

Agora, substituímos f(x) = e^2x cdot e^x + e^-x2 = e^3x + e^x2 na nossa função original:
Isso nos dá uma expressão mais simples para trabalhar.

Passo 4

A Transformada de Laplace de uma soma de funções é a soma das transformadas de cada função. Então, vamos separar a expressão:
Lf(x)(p) = 12 Le^3x(p) + 12 Le^x(p)
Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de é , desde que .

Passo 5

Aplicando a fórmula das transformadas:
Le^3x(p) = 1p - 3
Le^x(p) = 1p - 1
Substituindo de volta na expressão anterior:
Lf(x)(p) = 12 ( 1p - 3 + 1p - 1 )

Passo 6

Vamos simplificar a expressão combinando os termos:
Lf(x)(p) = 12 ( 1p - 3 + 1p - 1 ) = 12 ( (p - 1) + (p - 3)(p - 3)(p - 1) )
= 12 ( 2p - 4(p - 3)(p - 1) ) = 2(p - 2)2(p - 3)(p - 1)
= p - 2(p - 3)(p - 1)

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(x)(p) = p - 2(p - 3)(p - 1) é:

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Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
g) f(x)=(x^2-3)^2
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
f) f(x)=x^2-2 x
Usando que Gamma(1 / 2)=raizpi, determine a transformada de Laplace da função f(x)=1raizx.
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
e) n pi LL^2 p^2+n^2 pi^2