Em cada caso, determine a transformada de Laplace
j)
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber como transformar funções exponenciais e hiperbólicas usando as propriedades da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função hiperbólica cosseno,
, pode ser escrita em termos de exponenciais:
Isso vai ajudar a simplificar nossa função antes de aplicar a transformada.
Passo 3
Agora, substituímos
na nossa função original:
Isso nos dá uma expressão mais simples para trabalhar.
Passo 4
A Transformada de Laplace de uma soma de funções é a soma das transformadas de cada função. Então, vamos separar a expressão:
Agora, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de
é
, desde que
.
Passo 5
Aplicando a fórmula das transformadas:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão combinando os termos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Em cada caso, determine a transformada de Laplace
g)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
f)
Usando que
, determine a transformada de Laplace da função
.
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
e)
e)