Usando que Gamma(1 / 2)=raizpi, determine a transformada de Laplace da função f(x)=1raizx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais, entre outras aplicações. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades do cálculo integral, além da informação que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
L1raizx = integral0^infty e^-sx 1raizx , dx
No nosso caso, , então substituímos na integral:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral da forma Gamma(n) = integral0^infty e^-t t^n-1 , dt está relacionada à função gama ( ). A função gama é definida como:
Para adaptar a nossa integral a essa forma, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, ou .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
L1raizx = integral0^infty e^-sx 1raizx , dx = integral0^infty e^-t 1raizts cdot dts
Simplificando os termos dentro da integral:
1raizts = raizst e dts = 1s dt
Então, a integral fica:
L1raizx = integral0^infty e^-t raizst cdot 1s , dt = raizss integral0^infty e^-t t^-1/2 , dt
Isso simplifica para:
1raizs integral0^infty e^-t t^-1/2 , dt

Passo 5

Observamos que a integral Gamma(12) = integral0^infty e^-t t^-1/2 , dt é exatamente a definição da função gama para :
Sabemos que , conforme dado no enunciado.

Passo 6

Substituindo o valor da função gama na nossa expressão, temos:
L1raizx = 1raizs cdot raizpi = raizpiraizs = raizpis

Resposta

A transformada de Laplace da função L1raizx = raizpis é:

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