Usando que
, determine a transformada de Laplace da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais, entre outras aplicações. Para resolver esse exercício, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades do cálculo integral, além da informação que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
, então substituímos na integral:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que a integral da forma
está relacionada à função gama (
). A função gama é definida como:
Para adaptar a nossa integral a essa forma, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então,
ou
.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que a integral
é exatamente a definição da função gama para
:
Sabemos que
, conforme dado no enunciado.
Passo 6
Substituindo o valor da função gama na nossa expressão, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
j)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
g)
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
e)
e)
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função
.
a)
a)