Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
a) 4 p-3 pip^2+pi^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função transformada de Laplace, que é aquela F(p) = 4 p - 3 pip^2 + pi^2. Nosso objetivo é encontrar a função original f(x). Para isso, vamos precisar usar os conceitos básicos de transformada de Laplace, especificamente as transformadas inversas de funções do tipo pp^2 + a^2 e ap^2 + a^2, que correspondem às funções cosseno e seno, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão de F(p) em duas partes para facilitar a identificação das transformadas:
F(p) = 4pp^2 + pi^2 - 3pip^2 + pi^2

Passo 3

Agora, vamos lembrar das transformadas inversas de Laplace que precisamos:
  1. L^-1pp^2 + a^2 = cos(a x)
  2. L^-1ap^2 + a^2 = sin(a x)
Aqui, a é uma constante que, no nosso caso, é igual a pi.

Passo 4

Vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite separar a transformada de uma soma de funções em uma soma das transformadas das funções individuais:
f(x) = L^-14pp^2 + pi^2 - L^-13pip^2 + pi^2

Passo 5

Agora, aplicando as transformadas inversas que lembramos:
  1. L^-14pp^2 + pi^2 = 4 cos(pi x)
  2. L^-13pip^2 + pi^2 = 3 sin(pi x)
Note que multiplicamos cada termo pelo coeficiente correspondente (4 e 3).

Resposta

Portanto, a função original é:
f(x) = 4 cos(pi x) - 3 sin(pi x)

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