Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
g) rlly^prime prime-2 y^prime+y & = & x y(0)=k1, y^prime(0) & = & k2 ( Resp. y=k1 e^x+(k2-k1) x e^x)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = x
com as condições iniciais:
y(0) = k1, y'(0) = k2
Vamos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas.

Passo 2

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Ly'' - 2Ly' + Ly = Lx
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) - 2(s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 1s^2

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais s^2 Y(s) - s k1 - k2 - 2s Y(s) + 2k1 + Y(s) = 1s^2 e :

Passo 5

Vamos agrupar os termos com (s^2 - 2s + 1) Y(s) = 1s^2 + s k1 + k2 - 2k1 :
Observamos que .

Passo 6

Isolando Y(s) = 1(s - 1)^2 ( 1s^2 + s k1 + k2 - 2k1 ) :
Y(s) = k1 s + (k2 - k1)(s - 1)^2
Podemos simplificar a expressão:

Passo 7

Agora, temos que encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter L^-1 1(s - a)^2 = t e^a t . Sabemos que:
y(t) = k1 e^t + (k2 - k1) t e^t
Aplicando isso à nossa expressão:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = k1 e^x + (k2 - k1) x e^x

Exercícios relacionados

Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
e) 15p^2+4 p+29
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função f(x)=.
f) e^-x(a0+a1 x+ldots+an x^n)
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
b) 2 p+16p^2-16
Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
a) 4 p-3 pip^2+pi^2