Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
g)
Resp.
g)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação usando a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas.
Passo 2
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Observamos que
.
Passo 6
Isolando
:
Podemos simplificar a expressão:
Passo 7
Agora, temos que encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter
. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Dada
, obtenha
.
e)
e)
Nos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace da função
.
f)
f)
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
b)
b)
Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
a)
a)