Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
a partir da transformada de Laplace
. Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais, entre outras coisas. Para isso, vamos precisar manipular essa fração para identificar termos que conhecemos a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Notamos que o denominador pode ser fatorado como
. Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais para decompor
em termos mais simples que sabemos a transformada inversa. Queremos escrever
como:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e coletar os termos semelhantes:
Passo 5
Para encontrar
e
, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo tudo por 4:
Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever
como:
Passo 8
Conhecendo
decomposta, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a função
é: