Dada F(p)=Lf(x), obtenha f(x). Mostre os detalhes do que fizer. ( L, n, k, a, b são constantes.)
b) 2 p+16p^2-16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função a partir da transformada de Laplace . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais, entre outras coisas. Para isso, vamos precisar manipular essa fração para identificar termos que conhecemos a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão F(p) = 2p + 16(p - 4)(p + 4) . Notamos que o denominador pode ser fatorado como . Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais para decompor F(p) = Ap - 4 + Bp + 4 em termos mais simples que sabemos a transformada inversa. Queremos escrever como:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por 2p + 16 = A(p + 4) + B(p - 4) para eliminar os denominadores:
2p + 16 = A p + 4A + B p - 4B
Agora, vamos expandir e coletar os termos semelhantes:
2p + 16 = (A + B)p + (4A - 4B)

Passo 5

Para encontrar A + B = 2 (coeficiente de p) e 4A - 4B = 16 (termo constante) , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo tudo por 4:
A - B = 4
Agora temos o sistema:
A + B = 2 A - B = 4
Somando as duas equações:
2A = 6 implies A = 3
Substituindo 3 + B = 2 implies B = -1 na primeira equação:

Passo 7

Agora que encontramos F(p) = 3p - 4 - 1p + 4 e , podemos reescrever como:

Passo 8

Conhecendo L^-1 1p - a = e^a x decomposta, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1 3p - 4 = 3 e^4x
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-1 -1p + 4 = -e^-4x

Resposta

Portanto, a função f(x) = 3 e^4x - e^-4x é:

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