Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
g) pip^2+10 pi p+24 pi^2

Passo 1

Então, a gente tem uma função no domínio de Laplace, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original a partir dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e suas propriedades, principalmente a inversa da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio quadrático p^2 + 10pi p + 24pi^2 = (p + 4pi)(p + 6pi) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos o denominador fatorado de volta na expressão de F(p) = pi(p + 4pi)(p + 6pi) :

Passo 5

Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
pi(p + 4pi)(p + 6pi) = Ap + 4pi + Bp + 6pi

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por pi = A(p + 6pi) + B(p + 4pi) para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores de pi = A(-4pi + 6pi) + B(0) Rightarrow pi = A(2pi) Rightarrow A = pi2pi = 12 e pi = A(0) + B(-6pi + 4pi) Rightarrow pi = B(-2pi) Rightarrow B = -pi2pi = -12 . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Com os valores encontrados, podemos reescrever F(p) = 1/2p + 4pi - 1/2p + 6pi como:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11p + a = e^-a x
Aplicando isso aos termos de f(x) = 12 e^-4pi x - 12 e^-6pi x :

Resposta

A função original é .

Exercícios relacionados

Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
© W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0
7
Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é a) F(p)=1p(p^2+omega^2) ; b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).
Mostre que os seguintes conjuntos formam Z7-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(a) V=x in Z7^2 mid x1=x2
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d) y^prime prime+2 y^prime+5 y & =e^-x sin (x) y(0)=0, y^prime(0) & =1 (Resp. y=13 e^-x(sin (x)+ sin (2 x)))