Dada
, obtenha
.
g)
g)
Passo 1
Então, a gente tem uma função no domínio de Laplace, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função original
a partir dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e suas propriedades, principalmente a inversa da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então podemos escrever:
Passo 4
Agora, substituímos o denominador fatorado de volta na expressão de
:
Passo 5
Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
Passo 8
Com os valores encontrados, podemos reescrever
como:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos de
:
Resposta
A função original é
.
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
©
©
7
Seja a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Seja
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é a)
b)
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(a)
(a)
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d) (Resp.
d)