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Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é a) F(p)=1p(p^2+omega^2) ; b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência. A gente precisa provar uma propriedade dessa transformada e depois usar essa propriedade para encontrar funções específicas a partir de suas transformadas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Laplace. Se você tem uma função F(p) = Lf(x) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx , a transformada de Laplace é definida por:
Aqui, é uma variável complexa. A transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos para a parte que precisamos provar:
Lintegral0^x f(tau) d tau = F(p)p
O que isso significa? Queremos mostrar que a transformada de Laplace da integral de de 0 a é igual à transformada de dividida por .

Passo 4

Para provar isso, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace que relaciona uma função com sua integral. Sabemos que:
L integral0^x f(tau) dtau = F(p)p
Isso acontece porque integrar no domínio do tempo corresponde a dividir por no domínio de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa propriedade para resolver as partes a) e b) do exercício.
a)
Queremos encontrar tal que sua transformada de Laplace seja essa expressão.

Passo 6

Primeiro, vamos identificar que F(p) = 1p cdot 1p^2 + omega^2 . Podemos dividir isso em:
Lsin(omega x) = omegap^2 + omega^2
Sabemos que:
Então, podemos reescrever .

Passo 7

Agora, usando a propriedade que mencionamos antes:
L integral0^x f(tau) dtau = F(p)p
Podemos ver que f(x) = integral0^x sin(omega tau) dtau = 1 - cos(omega x)omega corresponde à transformada da função constante 1. Portanto, a função que buscamos é a integral de , ou seja:

Passo 8

b) L integral0^x sin(omega tau) dtau = 1p^2 + omega^2
Vamos seguir um raciocínio parecido. Aqui, .
Sabemos que:
Então, corresponde à transformada da integral dessa função dividida por .

Passo 9

Para encontrar integral0^x sin(omega tau) dtau = 1 - cos(omega x)omega , precisamos integrar duas vezes a função integral0^x 1 - cos(omega tau)omega dtau = xomega - sin(omega x)omega^2 :
Primeira integral:
Segunda integral:

Resposta

a) A função é
b) A função é

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Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b) U=x in R^2 mid x1+x2=0
Seja F(p) a transformada de Laplace de uma função f(x), que é contínua para x >= 0 e satisfaz à restrição de crescimento |f(x)| <= C e^k x. Mostre que, para p>0, p>k e x>0
Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
Use isto para encontrar uma função f(x) cuja transformada é b) F(p)=1p^2(p^2+omega^2).
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
© W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0
Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
g) pip^2+10 pi p+24 pi^2