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Seja
a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é a)
b)
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência. A gente precisa provar uma propriedade dessa transformada e depois usar essa propriedade para encontrar funções específicas a partir de suas transformadas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Laplace. Se você tem uma função
, a transformada de Laplace
é definida por:
Aqui,
é uma variável complexa. A transformada de Laplace é útil porque transforma equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos para a parte que precisamos provar:
O que isso significa? Queremos mostrar que a transformada de Laplace da integral de
de 0 a
é igual à transformada de
dividida por
.
Passo 4
Para provar isso, vamos usar a propriedade da Transformada de Laplace que relaciona uma função com sua integral. Sabemos que:
Isso acontece porque integrar no domínio do tempo corresponde a dividir por
no domínio de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos aplicar essa propriedade para resolver as partes a) e b) do exercício.
a)
Queremos encontrar
tal que sua transformada de Laplace seja essa expressão.
Passo 6
Primeiro, vamos identificar que
. Podemos dividir isso em:
Sabemos que:
Então, podemos reescrever
.
Passo 7
Agora, usando a propriedade que mencionamos antes:
Podemos ver que
corresponde à transformada da função constante 1. Portanto, a função
que buscamos é a integral de
, ou seja:
Passo 8
b)
Vamos seguir um raciocínio parecido. Aqui,
.
Sabemos que:
Então,
corresponde à transformada da integral dessa função dividida por
.
Passo 9
Para encontrar
, precisamos integrar duas vezes a função
:
Primeira integral:
Segunda integral:
Resposta
a) A função
é
b) A função
é
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
(b)
(b)
Seja
a transformada de Laplace de uma função
, que é contínua para
e satisfaz à restrição de crescimento
. Mostre que, para
e
Use isto para encontrar uma função
cuja transformada é b)
.
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
©
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Dada
, obtenha
.
g)
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