Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
© W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é o conjunto . A missão é mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial real sob as operações usuais. Para isso, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos começar verificando se o vetor zero está em .

Passo 3

O vetor zero em 3(0) - 5(0) = 0 - 0 = 0 é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em . Isso é importante porque todo espaço vetorial precisa conter o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se 3u1 - 5u2 = 0 e 3v1 - 5v2 = 0 é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer 3u1 - 5u2 + 3v1 - 5v2 = 0 + 0 3(u1 + v1) - 5(u2 + v2) = 0 e 3(u1 + v1) - 5(u2 + v2) = 0 em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso mostra que:
Portanto, também satisfaz a condição para estar em , ou seja, é fechado sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se 3u1 - 5u2 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se tomarmos qualquer vetor 3(cu1) - 5(cu2) = c(3u1 - 5u2) = c cdot 0 = 0 em e qualquer escalar , o vetor também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando toda a equação por :
Portanto, também satisfaz a condição para estar em , ou seja, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial real sob as operações usuais.

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Lintegral0^x f(tau) d tau=F(p)p
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