Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais. Isso envolve entender o que é um espaço vetorial e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias usando a matemática modular com módulo 7.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (nesse caso,
) é um conjunto de vetores que permite a adição de vetores e a multiplicação por escalares, seguindo certas regras (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.).
Para verificar se
é um espaço vetorial, precisamos confirmar duas coisas principais:
- Fechamento sob adição: Se você pegar dois vetores em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em
e multiplicá-lo por um escalar de , o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 3
Fechamento sob adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
, onde
.
A soma desses vetores é:
Como
está em
, o resultado
também satisfaz a condição
. Portanto,
está em
.
Conclusão:
é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar um vetor qualquer em
e um escalar em
. Seja
e
.
A multiplicação por escalar é:
Como
ainda está em
, o vetor resultante
também satisfaz a condição
. Portanto,
está em
.
Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Outras propriedades de espaço vetorial
Além do fechamento sob adição e multiplicação por escalar, um espaço vetorial deve satisfazer outras propriedades (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No entanto, essas propriedades já são herdadas do espaço vetorial maior
, pois
é um subconjunto deles e as operações são as mesmas.
Passo 6
Conclusão Final
Como verificamos que
é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e as outras propriedades necessárias já são satisfeitas, podemos concluir que
é de fato um espaço vetorial sobre
sob as operações usuais.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial sobre
com as operações usuais.
Exercícios relacionados
Dada
, obtenha
.
g)
g)
Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
©
©
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d) (Resp.
d)
Mostre que os seguintes conjuntos formam
-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
©
©