Mostre que os seguintes conjuntos formam Z7-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
(a) V=x in Z7^2 mid x1=x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre com as operações usuais. Isso envolve entender o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz as propriedades necessárias usando a matemática modular com módulo 7.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (nesse caso, ) é um conjunto de vetores que permite a adição de vetores e a multiplicação por escalares, seguindo certas regras (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.).
Para verificar se é um espaço vetorial, precisamos confirmar duas coisas principais:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar dois vetores em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em e multiplicá-lo por um escalar de , o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 3

Fechamento sob adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (a + b, a + b) . Seja e , onde .
A soma desses vetores é:
Como está em , o resultado também satisfaz a condição . Portanto, está em .
Conclusão: é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar
Agora, vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = (c cdot a, c cdot a) e um escalar em . Seja e .
A multiplicação por escalar é:
Como ainda está em , o vetor resultante também satisfaz a condição . Portanto, está em .
Conclusão: é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Outras propriedades de espaço vetorial
Além do fechamento sob adição e multiplicação por escalar, um espaço vetorial deve satisfazer outras propriedades (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). No entanto, essas propriedades já são herdadas do espaço vetorial maior , pois é um subconjunto deles e as operações são as mesmas.

Passo 6

Conclusão Final
Como verificamos que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, e as outras propriedades necessárias já são satisfeitas, podemos concluir que é de fato um espaço vetorial sobre sob as operações usuais.

Resposta

O conjunto é um espaço vetorial sobre com as operações usuais.

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