Dada f: R R, em que f(-2)=-4 e f^prime(-2)=e. Calcule lim h 0 f(-2+h)+4h

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com funções matemáticas e limites, que são conceitos básicos de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a derivada de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h de uma função em um ponto é definida como:
Esse limite nos dá a taxa de variação de naquele ponto .

Passo 3

Agora, vamos comparar essa definição com o que temos no exercício. No nosso caso, o limite que queremos calcular é:
limh to 0 f(-2+h) + 4h
Vamos reorganizar essa expressão para ficar parecida com a definição da derivada. Sabemos que f(-2) = -4 Rightarrow -f(-2) = 4 , então podemos escrever:
limh to 0 f(-2+h) - f(-2)h
Substituindo isso na expressão do limite:

Passo 4

Agora, observe que essa expressão exatamente corresponde à definição da derivada de limh to 0 f(-2+h) - f(-2)h = f'(-2) em . Então, podemos dizer que:

Passo 5

No enunciado, nos dizem que limh to 0 f(-2+h) + 4h = e . Portanto, substituindo na nossa equação:

Resposta

O limite solicitado é igual a .

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