Dada a quádrica
, o ângulo
de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo
é dado por
. Use esse resultado para eliminar o termo
a partir de uma rotação dos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação quadrática na forma geral:
A questão quer que a gente elimine o termo
fazendo uma rotação dos eixos coordenados. Para isso, a gente vai usar a fórmula que relaciona o ângulo de rotação
com os coeficientes da equação:
Nosso objetivo é aplicar essa rotação na equação dada:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação quadrática:
-
-
-
-
-
(porque não tem termo em ) -
(reorganizando a equação para )
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo
que elimina o termo
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos resolver a equação
. Sabemos que:
Isso implica que:
Então:
E:
Passo 5
Agora que temos o ângulo
, vamos fazer a rotação dos eixos. As novas coordenadas
são relacionadas às antigas
por:
Substituindo essas expressões na equação original, vamos eliminar o termo
.
Passo 6
Ao substituir e simplificar, a equação sem o termo
fica na forma:
Onde
,
,
,
e
são novos coeficientes após a rotação. Esses coeficientes podem ser encontrados aplicando as fórmulas de rotação, mas o foco aqui é eliminar o termo
, o que já conseguimos com a escolha correta de
.
Resposta
Após realizar a rotação dos eixos com o ângulo
, a equação quadrática original
é transformada em uma nova equação sem o termo
, facilitando sua análise e resolução.