Dada a quádrica A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0, o ângulo theta de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo x y é dado por cot (2 theta)=(A-C) / B. Use esse resultado para eliminar o termo x y a partir de uma rotação dos eixos coordenados. 4 x^2+4 x y+y^2+raiz5 x=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação quadrática na forma geral:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
A questão quer que a gente elimine o termo cot(2 theta) = A - CB fazendo uma rotação dos eixos coordenados. Para isso, a gente vai usar a fórmula que relaciona o ângulo de rotação 4 x^2 + 4 x y + y^2 + raiz5 x = 1 com os coeficientes da equação:
Nosso objetivo é aplicar essa rotação na equação dada:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação quadrática:
  • (porque não tem termo em )
  • (reorganizando a equação para )

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo cot(2 theta) = A - CB que elimina o termo cot(2 theta) = 4 - 14 = 34 :
Substituindo os valores:

Passo 4

Para encontrar cot(2 theta) = cos(2 theta)sin(2 theta) = 34 , precisamos resolver a equação tan(2 theta) = 43 . Sabemos que:
2 theta = arctan(43)
Isso implica que:
theta = 12 arctan(43)
Então:
E:

Passo 5

Agora que temos o ângulo x = x' cos theta - y' sin theta y = x' sin theta + y' cos theta , vamos fazer a rotação dos eixos. As novas coordenadas são relacionadas às antigas por:
Substituindo essas expressões na equação original, vamos eliminar o termo .

Passo 6

Ao substituir e simplificar, a equação sem o termo A' x'^2 + C' y'^2 + D' x' + E' y' + F' = 0 fica na forma:
Onde , , , e são novos coeficientes após a rotação. Esses coeficientes podem ser encontrados aplicando as fórmulas de rotação, mas o foco aqui é eliminar o termo , o que já conseguimos com a escolha correta de .

Resposta

Após realizar a rotação dos eixos com o ângulo , a equação quadrática original é transformada em uma nova equação sem o termo , facilitando sua análise e resolução.

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