Calcule os limites
lim t 1(raizt+3 i+t-1t^2-1 j-t g^-1t k)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular um limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1. O conteúdo principal aqui é cálculo de limites, aplicado a vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular limites de funções escalares e aplicar isso componente por componente no vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do vetor que temos:
lim t 1(raizt+3 i + t-1t^2-1 j - t g^-1t k)
Esse vetor tem três componentes: a componente , a e a . Para achar o limite do vetor todo, a gente calcula o limite de cada componente individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a componente limt to 1 raizt + 3 :
raiz1 + 3 = raiz4 = 2
Sabemos que a raiz quadrada é uma função contínua, então podemos simplesmente substituir por 1:
Então, a componente tende a 2.

Passo 4

Agora, vamos para a componente limt to 1 t - 1t^2 - 1 :
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
Podemos simplificar essa fração fatorando o denominador:
t - 1(t - 1)(t + 1) = 1t + 1, t neq 1
Então, temos:
11 + 1 = 12
Agora, calculando o limite substituindo por 1:
Portanto, a componente tende a .

Passo 5

Por último, vamos para a componente limt to 1 (-t g^-1t) :
-t g^-1t = -g^-1, t neq 0
Simplificando a expressão:
-g^-1
Aqui, é uma constante, então o limite é simplesmente:
Assim, a componente tende a .

Resposta

O limite do vetor é:
2, i + 12, j - g^-1, k

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