Determine os pontos de interseção das curvas cujas equações são dadas. A seguir, esboce ambas as curvas em um mesmo sistema de eixos exibindo os pontos de interseção. lx^2+4 y^2=20 x+2 y=6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os pontos onde duas curvas se cruzam. As equações que a gente tem são:
x^2 + 4y^2 = 20 x + 2y = 6
Aqui, estamos lidando com um sistema de equações, que envolve uma equação quadrática (uma elipse) e uma equação linear (uma reta). Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para encontrar os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação:
x + 2y = 6
Essa equação é mais simples e podemos facilmente isolar uma das variáveis. Vamos isolar x = 6 - 2y :
Isso significa que, para qualquer valor de , podemos encontrar usando essa fórmula. Vamos usar isso para substituir na primeira equação.

Passo 3

Agora, substituímos (6 - 2y)^2 + 4y^2 = 20 na primeira equação:
36 - 24y + 4y^2 + 4y^2 = 20
Vamos expandir o termo 36 - 24y + 8y^2 = 20 :
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a solução:
8y^2 - 24y + 36 - 20 = 0
8y^2 - 24y + 16 = 0
Agora, podemos simplificar dividindo todos os termos por 8:
y^2 - 3y + 2 = 0

Passo 5

Essa é uma equação quadrática simples. Vamos resolvê-la fatorando:
y^2 - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2) = 0
Então, as soluções para y = 1 ou y = 2 são:

Passo 6

Agora que temos os valores de x = 6 - 2y , vamos encontrar os correspondentes valores de x = 6 - 2(1) = 4 usando a equação que isolamos anteriormente:
x = 6 - 2(2) = 2
Para :
Para :

Resposta

Então, os pontos de interseção das duas curvas são e .

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