Determine os pontos de interseção das curvas cujas equações são dadas. A seguir, esboce ambas as curvas em um mesmo sistema de eixos exibindo os pontos de interseção.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os pontos onde duas curvas se cruzam. As equações que a gente tem são:
Aqui, estamos lidando com um sistema de equações, que envolve uma equação quadrática (uma elipse) e uma equação linear (uma reta). Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para encontrar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a segunda equação:
Essa equação é mais simples e podemos facilmente isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Isso significa que, para qualquer valor de
, podemos encontrar
usando essa fórmula. Vamos usar isso para substituir
na primeira equação.
Passo 3
Agora, substituímos
na primeira equação:
Vamos expandir o termo
:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a solução:
Agora, podemos simplificar dividindo todos os termos por 8:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática simples. Vamos resolvê-la fatorando:
Então, as soluções para
são:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação que isolamos anteriormente:
Para
:
Para
:
Resposta
Então, os pontos de interseção das duas curvas são
e
.