Dada a quádrica
, o ângulo
de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo
é dado por
. Use esse resultado para eliminar o termo
a partir de uma rotação dos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática com termos de
,
, e um termo cruzado
. Nosso objetivo aqui é eliminar o termo
fazendo uma rotação dos eixos. Para isso, vamos usar trigonometria, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo de rotação
com os coeficientes da equação. Vamos precisar calcular esse ângulo e então aplicar a rotação para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação quadrática:
Comparando com a forma geral
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o ângulo
que vai eliminar o termo
. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso significa que:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com o ângulo
, vamos realizar a rotação dos eixos. As transformações para
e
em termos de
e
são:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Vamos expandir cada termo passo a passo.
Passo 6
Expandindo o primeiro termo:
Passo 7
Expandindo o segundo termo:
Primeiro, multiplique dentro das parênteses:
Isso resulta em:
Multiplicando por
:
Passo 8
Expandindo o terceiro termo:
Passo 9
Expandindo o quarto termo:
Expandindo o quinto termo:
Passo 10
Agora, juntando todos os termos expandidos:
Vamos simplificar cada tipo de termo:
- Termos de
:
- Termos de
:
Legal! O termo
desapareceu, como queríamos.
- Termos de
:
- Termos de
:
- Termos de
:
- Termos constantes:
Passo 11
Após simplificar, nossa equação fica:
Vamos rearranjar para deixar a equação mais simples:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Resposta
A equação quadrática após a rotação dos eixos que elimina o termo
é: