Dada a quádrica A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0, o ângulo theta de rotação (no sentido anti-horário) que elimina o termo x y é dado por cot (2 theta)=(A-C) / B. Use esse resultado para eliminar o termo x y a partir de uma rotação dos eixos coordenados. x^2+2 raiz3 x y+3 y^2+8 raiz3 x-8 y=-32

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação quadrática com termos de , , e um termo cruzado . Nosso objetivo aqui é eliminar o termo fazendo uma rotação dos eixos. Para isso, vamos usar trigonometria, especificamente a fórmula que relaciona o ângulo de rotação com os coeficientes da equação. Vamos precisar calcular esse ângulo e então aplicar a rotação para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação quadrática:
x^2 + 2raiz3xy + 3y^2 + 8raiz3x - 8y = -32
Comparando com a forma geral , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo cot(2theta) = A - CB que vai eliminar o termo cot(2theta) = 1 - 32raiz3 = -22raiz3 = -1raiz3 . A fórmula para isso é:
tan(2theta) = -raiz3
Substituindo os valores que encontramos:
2theta = 120° Rightarrow theta = 60°
Isso significa que:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o ângulo x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta , vamos realizar a rotação dos eixos. As transformações para x = 12x' - raiz32y' y = raiz32x' + 12y' e em termos de e são:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos substituir (12x' - raiz32y')^2 + 2raiz3(12x' - raiz32y')(raiz32x' + 12y') + 3(raiz32x' + 12y')^2 + 8raiz3(12x' - raiz32y') - 8(raiz32x' + 12y') = -32 e na equação original:
Vamos expandir cada termo passo a passo.

Passo 6

Expandindo o primeiro termo:
(12x' - raiz32y')^2 = (12x')^2 - 2(12x')(raiz32y') + (raiz32y')^2 = 14x'^2 - raiz32x'y' + 34y'^2

Passo 7

Expandindo o segundo termo:
2raiz3(12x' - raiz32y')(raiz32x' + 12y')
Primeiro, multiplique dentro das parênteses:
(12x')(raiz32x') + (12x')(12y') - (raiz32y')(raiz32x') - (raiz32y')(12y')
Isso resulta em:
raiz34x'^2 + 14x'y' - 34x'y' - raiz34y'^2 = raiz34x'^2 - 12x'y' - raiz34y'^2
Multiplicando por 2raiz3 cdot (raiz34x'^2 - 12x'y' - raiz34y'^2) = 32x'^2 - raiz3x'y' - 32y'^2 :

Passo 8

Expandindo o terceiro termo:
3(raiz32x' + 12y')^2 = 3(34x'^2 + raiz32x'y' + 14y'^2) = 94x'^2 + 3raiz32x'y' + 34y'^2

Passo 9

Expandindo o quarto termo:
8raiz3(12x' - raiz32y') = 4raiz3x' - 12y'
Expandindo o quinto termo:
-8(raiz32x' + 12y') = -4raiz3x' - 4y'

Passo 10

Agora, juntando todos os termos expandidos:
14x'^2 - raiz32x'y' + 34y'^2 + 32x'^2 - raiz3x'y' - 32y'^2 + 94x'^2 + 3raiz32x'y' + 34y'^2 + 4raiz3x' - 12y' -4raiz3x' -4y' = -32
Vamos simplificar cada tipo de termo:
  • Termos de 14 + 32 + 94 = 1 + 6 + 94 = 164 = 4 :
-raiz32 - raiz3 + 3raiz32 = (-12 -1 + 32)raiz3 = (-1 -2 +32)raiz3 = 0
  • Termos de 34 - 32 + 34 = 3 - 6 + 34 = 0 :
4raiz3 -4raiz3 = 0
Legal! O termo -12 -4 = -16 desapareceu, como queríamos.
  • Termos de = -32 :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos constantes:

Passo 11

Após simplificar, nossa equação fica:
4x'^2 -16y' = -32
Vamos rearranjar para deixar a equação mais simples:
4x'^2 -16y' +32 = 0
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
x'^2 -4y' +8 = 0

Resposta

A equação quadrática após a rotação dos eixos que elimina o termo x'^2 - 4y' + 8 = 0 é:

Exercícios relacionados