Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado e os parâmetros geométricos da cônica
e/ou
), e esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação quadrática com termos de
,
e
. Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação usando translações e rotações para identificar que tipo de cônica ela representa (como uma elipse ou hipérbole). Para isso, vamos precisar encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo
e reformular a equação na nova orientação das coordenadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que vai eliminar o termo
da equação. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde na nossa equação
, os coeficientes são:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Sabemos que
(ou 60 graus no sentido negativo). Então:
Isso significa que vamos rotacionar o sistema de coordenadas
radianos no sentido horário para simplificar a equação.
Passo 4
Com o ângulo de rotação encontrado, podemos fazer a mudança de coordenadas. As novas coordenadas
são dadas por:
Substituindo
:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Vamos simplificar isso passo a passo. Depois de expandir e simplificar, o termo
vai cancelar, deixando a equação sem o termo misto.
Após os cálculos, a equação simplificada fica:
Passo 6
Vamos multiplicar toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
E reorganizar:
Essa é a forma padrão de uma elipse:
Comparando, temos:
Passo 7
Pronto! Identificamos que a cônica é uma elipse. A elipse está alinhada com os eixos rotacionados do sistema original, e seus parâmetros geométricos são:
O ângulo de rotação utilizado foi
radianos (ou 30 graus).
Resposta
A equação reduzida é uma elipse com parâmetros
e
. A rotação realizada foi de
radianos. O gráfico da cônica é uma elipse inclinada em 30 graus em relação ao sistema de coordenadas original.