Utilizando translações e rotações, reduza a equação a uma forma mais simples e identifique a cônica correspondente. Especifique a medida em radianos do ângulo de rotação utilizado e os parâmetros geométricos da cônica (a, b e/ou c ), e esboce seu gráfico. x^2+3 raiz3 x y+4 y^2-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma equação quadrática com termos de , e . Nosso objetivo aqui é simplificar essa equação usando translações e rotações para identificar que tipo de cônica ela representa (como uma elipse ou hipérbole). Para isso, vamos precisar encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo e reformular a equação na nova orientação das coordenadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que vai eliminar o termo tan(2theta) = 3raiz31 - 4 = 3raiz3-3 = -raiz3 da equação. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde na nossa equação , os coeficientes são:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos resolver para 2theta = arctan(-raiz3) :
theta = -pi6
Sabemos que (ou 60 graus no sentido negativo). Então:
Isso significa que vamos rotacionar o sistema de coordenadas radianos no sentido horário para simplificar a equação.

Passo 4

Com o ângulo de rotação encontrado, podemos fazer a mudança de coordenadas. As novas coordenadas x = x' cos theta - y' sin theta y = x' sin theta + y' cos theta são dadas por:
cos(-pi6) = raiz32, sin(-pi6) = -12
Substituindo x = x' cdot raiz32 + y' cdot 12 y = -x' cdot 12 + y' cdot raiz32 :
Então:

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na equação original:
(x' raiz32 + y' 12)^2 + 3raiz3 (x' raiz32 + y' 12) (-x' 12 + y' raiz32) + 4 (-x' 12 + y' raiz32)^2 - 1 = 0
Vamos simplificar isso passo a passo. Depois de expandir e simplificar, o termo 74 x'^2 + 134 y'^2 - 1 = 0 vai cancelar, deixando a equação sem o termo misto.
Após os cálculos, a equação simplificada fica:

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
7x'^2 + 13y'^2 - 4 = 0
E reorganizar:
7x'^24 + 13y'^24 = 1
Essa é a forma padrão de uma elipse:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Comparando, temos:
a^2 = 47 Rightarrow a = 2raiz7
b^2 = 413 Rightarrow b = 2raiz13

Passo 7

Pronto! Identificamos que a cônica é uma elipse. A elipse está alinhada com os eixos rotacionados do sistema original, e seus parâmetros geométricos são:
a = 2raiz7, b = 2raiz13
O ângulo de rotação utilizado foi radianos (ou 30 graus).

Resposta

A equação reduzida é uma elipse com parâmetros e . A rotação realizada foi de radianos. O gráfico da cônica é uma elipse inclinada em 30 graus em relação ao sistema de coordenadas original.

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