Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
21a
f: R^3 R^2 definida por f(x, y, z)=(z, x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Isso entra no conteúdo de transformações lineares na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar lembrar das propriedades que uma transformação precisa ter para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Ou seja, uma transformação linear preserva a estrutura do espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira propriedade: a adição de vetores.
Sejam f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (z1 + z2, (x1 + x2) + (y1 + y2)) e f(u) + f(v) = (z1, x1 + y1) + (z2, x2 + y2) = (z1 + z2, (x1 + y1) + (x2 + y2)) . Então:
f(u + v) = f(u) + f(v)
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar.
Seja f(cu) = f(cx, cy, cz) = (cz, cx + cy) um escalar e c f(u) = c(z, x + y) = (cz, c(x + y)) = (cz, cx + cy) . Então:
f(cu) = c f(u)
Por outro lado:
Novamente, vemos que:
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade são satisfeitas, a aplicação é uma transformação linear.

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