Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
21a
definida por
21a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Isso entra no conteúdo de transformações lineares na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar lembrar das propriedades que uma transformação precisa ter para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Ou seja, uma transformação linear preserva a estrutura do espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira propriedade: a adição de vetores.
Sejam
e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Então, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar.
Seja
um escalar e
. Então:
Por outro lado:
Novamente, vemos que:
Portanto, a segunda propriedade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade são satisfeitas, a aplicação
é uma transformação linear.