Dada a reta , determinar o ponto de r tal que
a) A ordenada seja 12;
b) A abscissa seja igual a ordenada
c) A cota seja o dobro da abscissa
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar pontos específicos em uma reta definida por equações paramétricas. O conteúdo envolve entender as equações de uma reta no espaço tridimensional e como manipular os parâmetros para encontrar pontos que atendam a certas condições. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações paramétricas de retas e resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações paramétricas da reta x = 2 + t y = 3 - t z = -2 + 3t :
Aqui, é o parâmetro que define cada ponto na reta.
Passo 3
a) Determinar o ponto de 12 = 3 - t tal que a ordenada seja 12.
A ordenada corresponde à coordenada t = 3 - 12 t = -9 . Queremos que x = 2 + (-9) = -7 z = -2 + 3(-9) = -2 - 27 = -29 .
Usando a equação de :
Resolvendo para :
Agora, substituímos nas equações de e :
Passo 4
b) Determinar o ponto de 2 + t = 3 - t tal que a abscissa seja igual à ordenada.
A abscissa corresponde à coordenada 2t = 1 t = 12 e a ordenada a x = 2 + 12 = 52 z = -2 + 3(12) = -2 + 32 = -12 . Queremos que .
Usando as equações de e :
Resolvendo para :
Substituindo nas equações de e :
Passo 5
c) Determinar o ponto de -2 + 3t = 2(2 + t) tal que a cota seja o dobro da abscissa.
A cota corresponde à coordenada -2 + 3t = 4 + 2t 3t - 2t = 4 + 2 t = 6 e a abscissa à x = 2 + 6 = 8 z = -2 + 3(6) = -2 + 18 = 16 . Queremos que .