Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(2,0,1), B (2,6,-3) e C (0,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano que é definido pelos três pontos A(2, 0, 1), B(2, 6, -3) e C(0, 2, 4). Isso envolve um pouco de álgebra linear e geometria no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores no plano, calcular o produto vetorial para achar a normal do plano e então montar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. A gente pode fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos usar os pontos A, B e C para isso.
Vetores:
  • AB = B - A = (2-2, 6-0, -3-1) = (0, 6, -4)
  • AC = C - A = (0-2, 2-0, 4-1) = (-2, 2, 3)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB e AC, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal é perpendicular ao plano e a gente consegue achá-lo usando o produto vetorial (também chamado de produto cruzado) dos vetores AB e AC.
Calculando o produto vetorial AB × AC:
n = AB times AC = i & j & k 0 & 6 & -4 -2 & 2 & 3
Fazendo a conta:
n = i(6 times 3 - (-4) times 2) - j(0 times 3 - (-4) times (-2)) + k(0 times 2 - 6 times (-2))
n = i(18 + 8) - j(0 - 8) + k(0 + 12)
n = 26i + 8j + 12k
Então, o vetor normal é n = (26, 8, 12). Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (13, 4, 6)

Passo 4

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação geral do plano. A equação geral do plano tem a forma:
A x + B y + C z + D = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal. Usando nosso vetor normal (13, 4, 6):
13x + 4y + 6z + D = 0
Para encontrar D, vamos usar um dos pontos do plano. Vamos usar o ponto A(2, 0, 1):
13(2) + 4(0) + 6(1) + D = 0
26 + 0 + 6 + D = 0
32 + D = 0 implies D = -32
Então, a equação geral do plano é:
13x + 4y + 6z - 32 = 0

Passo 5

Agora, vamos escrever o sistema de equações paramétricas do plano. Para isso, escolhemos um ponto que está no plano (vamos usar o ponto A) e dois vetores que estão no plano (AB e AC).
A forma paramétrica é:
x = x0 + u cdot v1 + v cdot w1 y = y0 + u cdot v2 + v cdot w2 z = z0 + u cdot v3 + v cdot w3
Onde:
  • (x₀, y₀, z₀) é o ponto A(2, 0, 1)
  • (v₁, v₂, v₃) são as componentes de AB = (0, 6, -4)
  • (w₁, w₂, w₃) são as componentes de AC = (-2, 2, 3)
  • u e v são os parâmetros
Então, substituindo:
x = 2 + 0 cdot u + (-2) cdot v y = 0 + 6 cdot u + 2 cdot v z = 1 + (-4) cdot u + 3 cdot v
Simplificando:
x = 2 - 2v y = 6u + 2v z = 1 - 4u + 3v

Resposta

A equação geral do plano é:
13x + 4y + 6z - 32 = 0
E o sistema de equações paramétricas do plano é:
x = 2 - 2v y = 6u + 2v z = 1 - 4u + 3v

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