Determinar as equações paramétricas da reta e a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A (1, 2, -1) e B (-2, 1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e a equação vetorial da reta que passa pelos pontos A (1, 2, -1) e B (-2, 1, -1). Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos como representar retas no espaço tridimensional usando coordenadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos A e B.
Então, vamos calcular:
AB = B - A = (-2 - 1, 1 - 2, -1 - (-1)) = (-3, -1, 0)

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + vx t = 1 - 3t y = y0 + vy t = 2 - t z = z0 + vz t = -1 + 0t = -1 , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada (x, y, z) da reta em função de um parâmetro .
Usando o ponto A como ponto de partida e o vetor diretor , as equações paramétricas ficam:

Passo 4

Agora, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial também utiliza um ponto da reta e um vetor diretor, mas expressa tudo em termos de vetores.
A equação vetorial é dada por:
r = r0 + tv
Onde:
  • r = (1, 2, -1) + t(-3, -1, 0) é o vetor posição de qualquer ponto na reta.
  • é o vetor posição do ponto A, que é .
  • é o vetor diretor .
  • é o parâmetro.
Então, substituindo:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 1 - 3t y = 2 - t z = -1
E a equação vetorial da reta é:
r = (1, 2, -1) + t(-3, -1, 0)

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