Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N. de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela que mostra quantas avarias (ou seja, quantos problemas) ocorreram nos elevadores de 200 edifícios públicos. A questão está dividida em duas partes:
a) Fazer gráficos das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
b) Calcular a média, o desvio padrão e a moda desses dados.
Vamos precisar de conceitos de estatística descritiva, como frequência relativa, frequência acumulada, média, desvio padrão e moda. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frequências relativas. A frequência relativa de cada categoria é a proporção ou porcentagem que cada número de avarias representa do total de observações. Para calcular isso, dividimos a frequência de cada categoria pelo total de edifícios.
Vamos calcular as frequências relativas:
êêçõ
Total de Observações = 53 + 68 + 44 + 17 + 16 + 2 = 200
Vamos calcular para cada número de avarias:
  • 0 avarias: ou 26,5%
  • 1 avaria: ou 34%
  • 2 avarias: ou 22%
  • 3 avarias: ou 8,5%
  • 4 avarias: ou 8%
  • 5 avarias: ou 1%

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências relativas acumuladas. Isso significa que para cada categoria, somamos todas as frequências relativas anteriores até aquela categoria. É útil para ver a distribuição cumulativa dos dados.
Vamos fazer isso passo a passo:
  • 0 avarias: 26,5%
  • 1 avaria: 26,5% + 34% = 60,5%
  • 2 avarias: 60,5% + 22% = 82,5%
  • 3 avarias: 82,5% + 8,5% = 91%
  • 4 avarias: 91% + 8% = 99%
  • 5 avarias: 99% + 1% = 100%

Passo 4

Agora que temos as frequências relativas e acumuladas, vamos falar sobre os gráficos.
Para representar as frequências relativas, podemos usar um gráfico de barras. Nele, no eixo horizontal (x), colocamos o número de avarias (0, 1, 2, 3, 4, 5) e no eixo vertical (y), a frequência relativa correspondente a cada número.
Já para as frequências relativas acumuladas, o mais comum é usar um gráfico de linha, que mostra a progressão acumulada à medida que o número de avarias aumenta.
Infelizmente, não posso desenhar os gráficos aqui, mas você pode usar ferramentas como Excel ou Google Sheets para criar esses gráficos seguindo as instruções.

Passo 5

Vamos para a parte b) e calcular a média, o desvio padrão e a moda dos dados.
Média (ou valor esperado):
A média é a soma de todos os valores multiplicados pelas suas respectivas frequências, dividida pelo total de observações. A fórmula é:
é
Onde:
  • = número de avarias
  • = frequência
  • = total de observações
Vamos calcular:
Então, a média é aproximadamente 1,405 avarias.
Desvio Padrão:
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula é:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Agora, divide pelo total e tira a raiz quadrada:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 1,232 avarias.
Moda:
A moda é o valor que aparece com maior frequência nos dados. Olhando a tabela de frequências:
  • 0 avarias: 53
  • 1 avaria: 68
  • 2 avarias: 44
  • 3 avarias: 17
  • 4 avarias: 16
  • 5 avarias: 2
A maior frequência é 68 para 1 avaria. Portanto, a moda é 1 avaria.

Resposta

a) As frequências relativas são 26,5%, 34%, 22%, 8,5%, 8% e 1% para 0 a 5 avarias, respectivamente. As frequências relativas acumuladas são 26,5%, 60,5%, 82,5%, 91%, 99% e 100%.
b) A média é aproximadamente 1,405 avarias, o desvio padrão é cerca de 1,232 avarias e a moda é 1 avaria.

Exercícios relacionados

(a) Prove, usando indução que é um número par para todo .
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?
O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45 .
(a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.
(b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?
Qual a probabilidade do Relé A está fechado (passa energia) sabendo-se que não fluiu corrente entre L e R.