Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N. ^O de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela que mostra quantas avarias (ou seja, quantos problemas) ocorreram nos elevadores de 200 edifícios públicos. A questão está dividida em duas partes:
a) Fazer gráficos das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
b) Calcular a média, o desvio padrão e a moda desses dados.
Vamos precisar de conceitos de estatística descritiva, como frequência relativa, frequência acumulada, média, desvio padrão e moda. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frequências relativas. A frequência relativa de cada categoria é a proporção ou porcentagem que cada número de avarias representa do total de observações. Para calcular isso, dividimos a frequência de cada categoria pelo total de edifícios.
Vamos calcular as frequências relativas:
Frequência Relativa = FrequênciaTotal de Observações êêçõ
Total de Observações = 53 + 68 + 44 + 17 + 16 + 2 = 200
Vamos calcular para cada número de avarias:
  • 0 avarias: ou 26,5%
  • 1 avaria: ou 34%
  • 2 avarias: ou 22%
  • 3 avarias: ou 8,5%
  • 4 avarias: ou 8%
  • 5 avarias: ou 1%

Passo 3

Agora, vamos calcular as frequências relativas acumuladas. Isso significa que para cada categoria, somamos todas as frequências relativas anteriores até aquela categoria. É útil para ver a distribuição cumulativa dos dados.
Vamos fazer isso passo a passo:
  • 0 avarias: 26,5%
  • 1 avaria: 26,5% + 34% = 60,5%
  • 2 avarias: 60,5% + 22% = 82,5%
  • 3 avarias: 82,5% + 8,5% = 91%
  • 4 avarias: 91% + 8% = 99%
  • 5 avarias: 99% + 1% = 100%

Passo 4

Agora que temos as frequências relativas e acumuladas, vamos falar sobre os gráficos.
Para representar as frequências relativas, podemos usar um gráfico de barras. Nele, no eixo horizontal (x), colocamos o número de avarias (0, 1, 2, 3, 4, 5) e no eixo vertical (y), a frequência relativa correspondente a cada número.
Já para as frequências relativas acumuladas, o mais comum é usar um gráfico de linha, que mostra a progressão acumulada à medida que o número de avarias aumenta.
Infelizmente, não posso desenhar os gráficos aqui, mas você pode usar ferramentas como Excel ou Google Sheets para criar esses gráficos seguindo as instruções.

Passo 5

Vamos para a parte b) e calcular a média, o desvio padrão e a moda dos dados.
Média (ou valor esperado):
A média é a soma de todos os valores multiplicados pelas suas respectivas frequências, dividida pelo total de observações. A fórmula é:
Média (mu) = sum (x times f)n é
Onde:
  • mu = (0 times 53) + (1 times 68) + (2 times 44) + (3 times 17) + (4 times 16) + (5 times 2)200 = número de avarias
  • mu = 0 + 68 + 88 + 51 + 64 + 10200 = 281200 = 1,405 = frequência
  • sigma = raizsum (x - mu)^2 times fn = total de observações
Vamos calcular:
(0 - 1,405)^2 times 53 &approx 1,974 times 53 approx 104,622 (1 - 1,405)^2 times 68 &approx 0,164 times 68 approx 11,152 (2 - 1,405)^2 times 44 &approx 0,36 times 44 approx 15,84 (3 - 1,405)^2 times 17 &approx 2,47 times 17 approx 42,00 (4 - 1,405)^2 times 16 &approx 6,58 times 16 approx 105,28 (5 - 1,405)^2 times 2 &approx 12,85 times 2 approx 25,70
104,622 + 11,152 + 15,84 + 42,00 + 105,28 + 25,70 = 304,494
Então, a média é aproximadamente 1,405 avarias.
Desvio Padrão:
O desvio padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. A fórmula é:
sigma = raiz304,494200 = raiz1,52247 approx 1,232
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Agora, divide pelo total e tira a raiz quadrada:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 1,232 avarias.
Moda:
A moda é o valor que aparece com maior frequência nos dados. Olhando a tabela de frequências:
  • 0 avarias: 53
  • 1 avaria: 68
  • 2 avarias: 44
  • 3 avarias: 17
  • 4 avarias: 16
  • 5 avarias: 2
A maior frequência é 68 para 1 avaria. Portanto, a moda é 1 avaria.

Resposta

a) As frequências relativas são 26,5%, 34%, 22%, 8,5%, 8% e 1% para 0 a 5 avarias, respectivamente. As frequências relativas acumuladas são 26,5%, 60,5%, 82,5%, 91%, 99% e 100%.
b) A média é aproximadamente 1,405 avarias, o desvio padrão é cerca de 1,232 avarias e a moda é 1 avaria.

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