Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: a afirmação é que para todo número natural , o produto é ímpar. A prova apresentada usa o método de indução matemática para tentar demonstrar isso. Precisamos verificar se a prova está correta e identificar onde pode haver um erro.

Passo 2

Primeiro, a prova começa assumindo que a afirmação é verdadeira para . Ou seja, estamos supondo que é ímpar. Essa é a hipótese de indução, que é uma etapa crucial no método de indução para provar que se a afirmação vale para um caso, ela vale para o próximo.

Passo 3

Em seguida, a prova tenta demonstrar que, se é ímpar, então também é ímpar. Para isso, a prova reescreve da seguinte forma:
Essa reescrita está correta, pois se expandirmos , temos , e somando , obtemos , que é igual a .

Passo 4

A prova então afirma que é ímpar pela hipótese de indução e que é par, pois qualquer múltiplo de 2 é par. Baseado nisso, a prova conclui que a soma de um número ímpar ( ) com um número par ( ) resulta em um número ímpar, portanto seria ímpar.

Passo 5

Aqui está o problema: a afirmação de que é ímpar para todo está incorreta. Na verdade, o produto de dois números consecutivos, onde um deles sempre é par, resulta em um número par. Por exemplo, se , então , que é par. A suposição inicial de que é ímpar está errada.

Resposta

O erro na demonstração está em afirmar que é ímpar para todo . Na realidade, é sempre par, já que um dos fatores ou é necessariamente par. Portanto, a hipótese de indução está incorreta, tornando a prova inválida.

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