Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação:
é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como
é par, então
é ímpar.
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: a afirmação é que para todo número natural
, o produto
é ímpar. A prova apresentada usa o método de indução matemática para tentar demonstrar isso. Precisamos verificar se a prova está correta e identificar onde pode haver um erro.
Passo 2
Primeiro, a prova começa assumindo que a afirmação é verdadeira para
. Ou seja, estamos supondo que
é ímpar. Essa é a hipótese de indução, que é uma etapa crucial no método de indução para provar que se a afirmação vale para um caso, ela vale para o próximo.
Passo 3
Em seguida, a prova tenta demonstrar que, se
é ímpar, então
também é ímpar. Para isso, a prova reescreve
da seguinte forma:
Essa reescrita está correta, pois se expandirmos
, temos
, e somando
, obtemos
, que é igual a
.
Passo 4
A prova então afirma que
é ímpar pela hipótese de indução e que
é par, pois qualquer múltiplo de 2 é par. Baseado nisso, a prova conclui que a soma de um número ímpar (
) com um número par (
) resulta em um número ímpar, portanto
seria ímpar.
Passo 5
Aqui está o problema: a afirmação de que
é ímpar para todo
está incorreta. Na verdade, o produto de dois números consecutivos, onde um deles sempre é par, resulta em um número par. Por exemplo, se
, então
, que é par. A suposição inicial de que
é ímpar está errada.
Resposta
O erro na demonstração está em afirmar que
é ímpar para todo
. Na realidade,
é sempre par, já que um dos fatores
ou
é necessariamente par. Portanto, a hipótese de indução está incorreta, tornando a prova inválida.
Exercícios relacionados
(e) O resultado em (d) também vale para conjuntos
de cardinalidade par. Prove esta afirmação.
(a) Prove, usando indução que
é um número par para todo
.
Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N.
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
Frequências | 53 | 68 | 44 | 17 | 16 | 2 |
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.