(a) Prove, usando indução que é um número par para todo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar, usando indução matemática, que o produto sempre resulta em um número par para todo número natural . Isso está ligado ao conteúdo de matemática chamado indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações válidas para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto ser par. Um número é par quando é divisível por 2, ou seja, existe algum número inteiro que, multiplicado por 2, dá o número original.

Passo 3

A estratégia da indução matemática tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um número qualquer e, com base nisso, provar que ela também é verdadeira para .

Passo 4

Base da indução: Vamos testar para .
Como 2 é um número par (divisível por 2), a base da indução é válida.

Passo 5

Passo indutivo: Agora, vamos supor que para algum n��mero , o produto é par. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 6

Com base nessa hipótese, queremos provar que também é par.
Mas uma maneira mais simples é observar que:
í
E
í
No entanto, para simplificar, vamos reescrever de outra forma.

Passo 7

Vamos expandir :
Observando que é par (pela hipótese de indução), ou seja, para algum inteiro .

Passo 8

Reescrevendo :
Aqui, é um número inteiro, então o produto é múltiplo de 2, ou seja, par.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que é sempre um número par para todo .

Exercícios relacionados

Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(b) O que está errado na demonstração?
rapazes e garotas saem para dançar. De quantas maneiras eles podem todos dançar simultaneamente? (Assumindo que somente casais de sexo diferente dançam um com o outro)
Dada a seguinte distribuição do número de avarias nos elevadores em 200 edifícios públicos:
N. de avarias 0 1 2 3 4 5
Frequências 53 68 44 17 16 2
(a) Faça a representação gráfica das frequências relativas e das frequências relativas acumuladas.
(b) Calcule a média, o desvio padrão e a moda.
O Pedro entrou agora na universidade e foi informado de que há de possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 , enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45 .
(a) Diga ao Pedro qual é a probabilidade de ele se licenciar.
(b) Se, daqui a uns anos, encontrar o Pedro já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo?