(a) Prove, usando indução que
é um número par para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar, usando indução matemática, que o produto
sempre resulta em um número par para todo número natural
. Isso está ligado ao conteúdo de matemática chamado indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações válidas para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto
ser par. Um número é par quando é divisível por 2, ou seja, existe algum número inteiro que, multiplicado por 2, dá o número original.
Passo 3
A estratégia da indução matemática tem dois passos principais:
- Base da indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, geralmente
. - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um número qualquer
e, com base nisso, provar que ela também é verdadeira para .
Passo 4
Base da indução: Vamos testar para
.
Como 2 é um número par (divisível por 2), a base da indução é válida.
Passo 5
Passo indutivo: Agora, vamos supor que para algum n��mero
, o produto
é par. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 6
Com base nessa hipótese, queremos provar que
também é par.
Mas uma maneira mais simples é observar que:
E
No entanto, para simplificar, vamos reescrever
de outra forma.
Passo 7
Vamos expandir
:
Observando que
é par (pela hipótese de indução), ou seja,
para algum inteiro
.
Passo 8
Reescrevendo
:
Aqui,
é um número inteiro, então o produto é múltiplo de 2, ou seja, par.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que
é sempre um número par para todo
.