(a) Prove, usando indução que n(n+1) é um número par para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar, usando indução matemática, que o produto n(n+1) sempre resulta em um número par para todo número natural n. Isso está ligado ao conteúdo de matemática chamado indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações válidas para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto n(n+1) ser par. Um número é par quando é divisível por 2, ou seja, existe algum número inteiro que, multiplicado por 2, dá o número original.

Passo 3

A estratégia da indução matemática tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, geralmente n=1.
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um número qualquer k e, com base nisso, provar que ela também é verdadeira para k+1.

Passo 4

Base da indução: Vamos testar para n=1.
1(1+1) = 1 times 2 = 2
Como 2 é um número par (divisível por 2), a base da indução é válida.

Passo 5

Passo indutivo: Agora, vamos supor que para algum n��mero k, o produto k(k+1) é par. Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
k(k+1) = par

Passo 6

Com base nessa hipótese, queremos provar que (k+1)(k+2) também é par.
(k+1)(k+2) = k(k+2) + 1(k+2) = k^2 + 2k + k + 2 = k^2 + 3k + 2
Mas uma maneira mais simples é observar que:
(k+1) = par ou ímpar í
E
(k+2) = oposto de par ou ímpar de (k+1) í
No entanto, para simplificar, vamos reescrever (k+1)(k+2) de outra forma.

Passo 7

Vamos expandir (k+1)(k+2):
(k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2
Observando que k(k+1) é par (pela hipótese de indução), ou seja, k(k+1) = 2m para algum inteiro m.

Passo 8

Reescrevendo k^2 + 3k + 2:
k^2 + 3k + 2 = k(k+1) + 2(k+1) = 2m + 2(k+1) = 2(m + k + 1)
Aqui, m + k + 1 é um número inteiro, então o produto é múltiplo de 2, ou seja, par.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que n(n+1) é sempre um número par para todo n in N.

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