1. Dada uma série convergente de termos positivos sum an=S, prove que, se a partir de um certo índice N, an+1an <= q<1, então S-Sn para n>N.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita de termos positivos, ou seja, sum an = S, que é convergente. O que precisamos provar é que, após um certo índice N, a razão entre termos consecutivos an+1an é menor ou igual a um número q que é menor que 1. Com essa condição, queremos mostrar que a diferença entre a soma total S e a soma parcial Sn (que soma até o termo n) é menor que aN cdot q^n+1-N1 - q para n > N. Vamos usar conceitos de séries convergentes e séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Começamos lembrando que uma série infinita sum an de termos positivos converge se a soma das suas parcelas chega a um número finito S. A soma parcial Sn é a soma dos primeiros n termos dessa série. A diferença S - Sn representa a “cauda” da série, ou seja, a soma dos termos a partir do termo n+1 até o infinito.

Passo 3

Segundo a hipótese do exercício, a partir de um certo índice N, a razão entre termos consecutivos da série é limitada por an+1an <= q, onde q < 1. Isso significa que, a partir do termo N, cada termo seguinte é no máximo q vezes o termo anterior. Essa condição nos lembra de uma série geométrica, onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.

Passo 4

Uma série geométrica com razão r (onde |r| < 1) converge e sua soma é dada por sumk=0^infty ar^k = a1 - r. No nosso caso, a partir do termo N, a sequência an é dominada por uma série geométrica com razão q. Portanto, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica para estimar a cauda S - Sn.

Passo 5

A partir do termo N, cada termo ak para k >= N satisfaz ak <= aN q^k - N. Então, a soma da cauda S - Sn para n > N é:
S - Sn = sumk=n+1^infty ak <= sumk=n+1^infty aN q^k - N

Passo 6

Calculando a soma da série geométrica acima, temos:
sumk=n+1^infty aN q^k - N = aN summ=(n+1)-N^infty q^m = aN q^n+1 - N1 - q
Aqui, substituímos m = k - N para simplificar a soma.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
S - Sn < aN cdot q^n+1 - N1 - q

Resposta

A diferença entre a soma total S e a soma parcial Sn é menor que aN cdot q^n+1-N1-q para n > N.

Exercícios relacionados

Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f) sumn=1^infty 2^n cdot n!(1-cos (n^2))2 cdot 5.8 ldots(3 n-1)
Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a) sumn=1^infty cos (3 n)n^2+1
Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... de
modo que sua soma se torne igual a zero.
Calcule os limites a seguir:
lim t 1(t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sen(1 / t)).