- Dada uma série convergente de termos positivos
, prove que, se a partir de um certo índice
, então
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita de termos positivos, ou seja,
, que é convergente. O que precisamos provar é que, após um certo índice
, a razão entre termos consecutivos
é menor ou igual a um número
que é menor que 1. Com essa condição, queremos mostrar que a diferença entre a soma total
e a soma parcial
(que soma até o termo
) é menor que
para
. Vamos usar conceitos de séries convergentes e séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Começamos lembrando que uma série infinita
de termos positivos converge se a soma das suas parcelas chega a um número finito
. A soma parcial
é a soma dos primeiros
termos dessa série. A diferença
representa a “cauda” da série, ou seja, a soma dos termos a partir do termo
até o infinito.
Passo 3
Segundo a hipótese do exercício, a partir de um certo índice
, a razão entre termos consecutivos da série é limitada por
, onde
. Isso significa que, a partir do termo
, cada termo seguinte é no máximo
vezes o termo anterior. Essa condição nos lembra de uma série geométrica, onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.
Passo 4
Uma série geométrica com razão
(onde
) converge e sua soma é dada por
. No nosso caso, a partir do termo
, a sequência
é dominada por uma série geométrica com razão
. Portanto, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica para estimar a cauda
.
Passo 5
A partir do termo
, cada termo
para
satisfaz
. Então, a soma da cauda
para
é:
Passo 6
Calculando a soma da série geométrica acima, temos:
Aqui, substituímos
para simplificar a soma.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Resposta
A diferença entre a soma total
e a soma parcial
é menor que
para
.
Exercícios relacionados
Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f)
f)
Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a)
a)
Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série
de
modo que sua soma se torne igual a zero.
modo que sua soma se torne igual a zero.
Calcule os limites a seguir:
.