Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a) sumn=1^infty cos (3 n)n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa série que é a soma infinita de cos(3n)n^2+1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela tem um valor definido quando somamos todos os seus termos. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o teste da comparação e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge de forma absoluta. Isso significa que vamos considerar os valores absolutos dos termos da série e ver se essa nova série também converge. Então, pegamos a série:
sumn=1^infty | cos(3n)n^2+1 |
Sabemos que o valor absoluto do cosseno está sempre entre -1 e 1, ou seja, |cos(3n)| <= 1. Então, podemos dizer que:
| cos(3n)n^2+1 | <= 1n^2+1

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série que já conhecemos se comportar bem. Sabemos que a série:
sumn=1^infty 1n^2
é uma série p com p=2, e como p > 1, essa série é convergente.

Passo 4

Como cada termo da nossa série original no valor absoluto é menor ou igual ao termo correspondente da série p que sabemos que converge, pelo teste da comparação, podemos concluir que a série de valores absolutos também converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, ela necessariamente converge, e essa convergência é mais forte.

Resposta

A série sumn=1^infty cos (3 n)n^2+1 é convergente de forma absoluta.

Exercícios relacionados

Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
e) sumn=1^infty(n^2-23 n+94 n^3 raizn+7-2 n+cos ^3(n^2))
Dada uma série convergente sum a n, com soma S e reduzida S n, prove que seu resto R n é a soma da série a partir do índice n+1. (A diferença R n=S-S n é chamada o resto de ordem n da série).
Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f) sumn=1^infty 2^n cdot n!(1-cos (n^2))2 cdot 5.8 ldots(3 n-1)
  1. Dada uma série convergente de termos positivos sum an=S, prove que, se a partir de um certo índice N, an+1an <= q<1, então S-Sn para n>N.