Dada a superfície
, obter o vetor unitário normal à superfície no ponto
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação
e queremos encontrar o vetor normal unitário a essa superfície no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função que define a superfície e, em seguida, normalizar esse vetor para obter um vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação dada como
. O gradiente dessa função,
, nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, substituímos o ponto
nas derivadas parciais para obter o vetor normal no ponto específico:
Passo 5
Finalmente, precisamos obter o vetor normal unitário. Para isso, vamos calcular o comprimento (norma) do vetor
:
Então, o vetor unitário normal é:
Resposta
O vetor unitário normal à superfície
no ponto
é
.