Dada a superfície x y z^2=4, obter o vetor unitário normal à superfície no ponto (1,1,2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação e queremos encontrar o vetor normal unitário a essa superfície no ponto . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente da função que define a superfície e, em seguida, normalizar esse vetor para obter um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que define a superfície. Podemos reescrever a equação dada como . O gradiente dessa função, , nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de partial fpartial x = y z^2 em relação a cada variável:
partial fpartial y = x z^2
Calculando cada derivada:
partial fpartial z = 2 x y z

Passo 4

Agora, substituímos o ponto nabla f (1,1,2) = (1 cdot 2^2, 1 cdot 2^2, 2 cdot 1 cdot 1 cdot 2) = (4, 4, 4) nas derivadas parciais para obter o vetor normal no ponto específico:

Passo 5

Finalmente, precisamos obter o vetor normal unitário. Para isso, vamos calcular o comprimento (norma) do vetor | nabla f | = raiz4^2 + 4^2 + 4^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4 raiz3 :
n = nabla f| nabla f | = ( 44 raiz3, 44 raiz3, 44 raiz3 ) = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
Então, o vetor unitário normal é:

Resposta

O vetor unitário normal à superfície no ponto é .

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