Quais das seguintes matrizes são antisimétricas?
(a)
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Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta quais das matrizes apresentadas são antissimétricas. O conteúdo envolvido aqui é o de matrizes antissimétricas, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma matriz antissimétrica e como verificar se uma matriz específica atende a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz quadrada
é chamada de antissimétrica se a sua transposta
for igual ao seu negativo, ou seja:
Isso significa que, para toda posição
na matriz, o elemento
deve ser igual ao negativo de
. Além disso, os elementos na diagonal principal devem ser zero, porque
só é possível se
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à matriz dada:
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, comparamos
com
:
Observamos que os elementos correspondentes não são iguais. Por exemplo, o elemento
em
é 5, enquanto em
é -5. Como isso não satisfaz
, a matriz
não é antissimétrica.
Resposta
A matriz apresentada não é antissimétrica.