Dado o polinômio p(t)=t^2+4 t-21, encontre a matriz p(A) nos seguintes casos:
(b) se A=(cc1 & -1 2 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a matriz 1 & -1 2 & 0 onde o polinômio é e a matriz é . A matéria envolvida aqui é de polinômios de matrizes, onde substituímos pela matriz no polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular p(A) = A^2 + 4A - 21I . Isso quer dizer que vamos substituir por no polinômio. Então, teremos:
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular A = 1 & -1 2 & 0 . Para isso, multiplicamos a matriz A^2 = A times A = 1 & -1 2 & 0 times 1 & -1 2 & 0 por ela mesma:
A^2 = (1)(1) + (-1)(2) & (1)(-1) + (-1)(0) (2)(1) + (0)(2) & (2)(-1) + (0)(0) = 1 - 2 & -1 + 0 2 + 0 & -2 + 0 = -1 & -1 2 & -2
Multiplicando:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos calcular 4A = 4 times 1 & -1 2 & 0 = 4 & -4 8 & 0 . Basta multiplicar cada elemento de por 4:

Passo 5

Precisamos também calcular 21I = 21 times 1 & 0 0 & 1 = 21 & 0 0 & 21 , onde é a matriz identidade :

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na fórmula p(A) = -1 & -1 2 & -2 + 4 & -4 8 & 0 - 21 & 0 0 & 21 :
-1 + 4 - 21 & -1 - 4 - 0 2 + 8 - 0 & -2 + 0 - 21 = -18 & -5 10 & -23
Vamos somar as matrizes:

Resposta

A matriz p(A) = -18 & -5 10 & -23 é:

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