(Hipergeométrica) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis. Se 4 bolas são retiradas sem reposição, qual é a probabilidade de exatamente 2 serem vermelhas?

Passo 1

Beleza! A gente tem uma urna com 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis, totalizando 8 bolas. A parada é tirar 4 bolas sem colocar de volta e descobrir a probabilidade de exatamente 2 dessas bolas serem vermelhas. Vamos usar a probabilidade hipergeométrica pra resolver isso. Pra isso, vamos precisar calcular combinações de como as bolas podem ser escolhidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade hipergeométrica. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de tirar um certo número de itens de um grupo específico quando não colocamos os itens de volta na urna. A fórmula geral é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN-Kn-kdbinomNn
Onde:
  • é o número total de itens (no caso, bolas na urna).
  • é o número de itens de um tipo específico (bolas vermelhas).
  • é o número de itens que vamos tirar.
  • é o número de itens específicos que queremos tirar.

Passo 3

Vamos identificar nossos valores:
  • (5 vermelhas + 3 azuis)
  • (bolas vermelhas)
  • (quantas vamos tirar)
  • (quantas queremos que sejam vermelhas)
Agora, vamos aplicar esses valores na fórmula.

Passo 4

Vamos calcular cada combinação:
  • dbinom52 = 5!2!(5-2)! = 10 : número de maneiras de escolher 2 vermelhas das 5 disponíveis.
  • dbinom32 = 3!2!(3-2)! = 3 : número de maneiras de escolher 2 azuis das 3 disponíveis.
  • dbinom84 = 8!4!(8-4)! = 70 : número total de maneiras de escolher 4 bolas das 8.
Calculando:

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula da probabilidade hipergeométrica:
P(X = 2) = 10 times 370 = 3070 = 37 approx 0,4286

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 das 4 bolas retiradas serem vermelhas é ou aproximadamente 42,86%.

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