A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre as vendas brutas diárias de um restaurante, que seguem uma distribuição normal com média de 10 mil reais e desvio padrão de 2 mil reais. Queremos descobrir qual a probabilidade de que a venda total em dois dias seja maior que 23 mil reais. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e soma de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando somamos as vendas de dois dias, estamos somando duas variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal. Quando temos duas variáveis normais independentes, a soma delas também é uma variável normal.

Passo 3

Vamos calcular a média e o desvio padrão dessa soma. A média total será a soma das médias dos dois dias:
mutotal = mu1 + mu2 = 10 + 10 = 20 mil reais
Já a variância, que é o quadrado do desvio padrão, soma também:
sigmatotal^2 = sigma1^2 + sigma2^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
Portanto, o desvio padrão total é:
sigmatotal = raiz8 approx 2,828 mil reais

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a soma das vendas em dois dias seja maior que 23 mil reais, ou seja, .

Passo 5

Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma = 23 - 202,828 approx 1,060

Passo 6

Com o valor de z calculado, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá , que é a probabilidade de a variável ser menor que z.

Passo 7

Consultando a tabela, encontramos que . Isso significa que a probabilidade de a soma das vendas ser menor que 23 mil reais é de aproximadamente 85,54%.

Passo 8

Como queremos a probabilidade de ser maior que 23 mil reais, subtraímos esse valor de 1:
P(X > 23) = 1 - Phi(z) = 1 - 0,8554 = 0,1446

Resposta

A probabilidade de que a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais é de aproximadamente 14,46%.

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