Dada uma variável aleatória contínua e positiva com densidade , definimos a taxa de risco de por
onde é a função distribuição acumulada de .
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante . Ou seja,
Considere agora variáveis positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por , e defina . Com estas informações em mente, faça o que se pede.
Repita os itens anteriores no caso em que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos variáveis aleatórias contínuas e positivas que representam, por exemplo, o tempo até a falha de componentes. Cada uma dessas variáveis tem uma função densidade . Queremos definir , ou seja, o menor tempo até a falha entre todos os componentes. A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas e distribuição do mínimo de variáveis independentes. Vamos precisar entender como encontrar a função distribuição acumulada (FDA) e a função densidade de , tanto no caso geral quanto quando as seguem distribuições exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função distribuição acumulada de . A FDA de , , é a probabilidade de que o menor tempo de falha seja menor ou igual a . Isso significa que pelo menos um dos componentes falhou até o tempo .
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
onde é a probabilidade de que todos os componentes sobrevivam além de .

Passo 3

Como as variáveis são independentes, a probabilidade de todos sobreviverem além de é o produto das probabilidades individuais:
Sabemos que , onde é a FDA de . Então:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de :
Essa é a FDA do tempo mínimo .

Passo 5

Agora, para encontrar a função densidade de , , vamos derivar em relação a :
Simplificando:
Isso significa que a densidade de é a soma das densidades individuais multiplicadas pelas probabilidades de os outros componentes ainda não terem falhado até o tempo .

Passo 6

Agora vamos considerar o caso especial em que cada segue uma distribuição exponencial com parâmetro :
Para a distribuição exponencial, a FDA é:
E a função densidade é:

Passo 7

Vamos calcular no caso exponencial. Substituindo na expressão geral:
Isso mostra que também segue uma distribuição exponencial, mas com parâmetro .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a função densidade para o caso exponencial. Sabemos que se é exponencial com parâmetro , então:

Resposta

A função densidade do tempo mínimo quando são variáveis exponenciais com parâmetros é dada por:

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