Dada uma variável aleatória contínua e positiva
com densidade
, definimos a taxa de risco
de
por
onde
é a função distribuição acumulada de
.
Se
representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante
. Ou seja,
Considere agora variáveis
positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por
, e defina
. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
Repita os itens anteriores no caso em que
Se
Repita os itens anteriores no caso em que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos variáveis aleatórias contínuas e positivas
que representam, por exemplo, o tempo até a falha de componentes. Cada uma dessas variáveis tem uma função densidade
. Queremos definir
, ou seja, o menor tempo até a falha entre todos os componentes. A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas e distribuição do mínimo de variáveis independentes. Vamos precisar entender como encontrar a função distribuição acumulada (FDA) e a função densidade de
, tanto no caso geral quanto quando as
seguem distribuições exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função distribuição acumulada de
. A FDA de
,
, é a probabilidade de que o menor tempo de falha seja menor ou igual a
. Isso significa que pelo menos um dos componentes falhou até o tempo
.
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
onde
é a probabilidade de que todos os componentes sobrevivam além de
.
Passo 3
Como as variáveis
são independentes, a probabilidade de todos sobreviverem além de
é o produto das probabilidades individuais:
Sabemos que
, onde
é a FDA de
. Então:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Essa é a FDA do tempo mínimo
.
Passo 5
Agora, para encontrar a função densidade de
,
, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando:
Isso significa que a densidade de
é a soma das densidades individuais multiplicadas pelas probabilidades de os outros componentes ainda não terem falhado até o tempo
.
Passo 6
Agora vamos considerar o caso especial em que cada
segue uma distribuição exponencial com parâmetro
:
Para a distribuição exponencial, a FDA é:
E a função densidade é:
Passo 7
Vamos calcular
no caso exponencial. Substituindo
na expressão geral:
Isso mostra que
também segue uma distribuição exponencial, mas com parâmetro
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a função densidade
para o caso exponencial. Sabemos que se
é exponencial com parâmetro
, então:
Resposta
A função densidade do tempo mínimo
quando
são variáveis exponenciais com parâmetros
é dada por: