Dada uma variável aleatória contínua e positiva T com densidade f(t), t>0, definimos a taxa de risco lambdaT(t) de T por
lambdaT(t)=f(t)1-F(t),
onde F(t)=P(T <= t) é a função distribuição acumulada de T.
Se T representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante t. Ou seja,
P(tt) approx lambdaT(t) dt
Considere agora variáveis T1, cdots, Tn positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por f1(t), cdots, fn(t), e defina W=min T1, cdots, Tn. Com estas informações em mente, faça o que se pede.
Repita os itens anteriores no caso em que
Ti sim Exponencial(lambdai)
i=1, ldots, n

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos variáveis aleatórias contínuas e positivas que representam, por exemplo, o tempo até a falha de componentes. Cada uma dessas variáveis tem uma função densidade . Queremos definir , ou seja, o menor tempo até a falha entre todos os componentes. A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias contínuas e distribuição do mínimo de variáveis independentes. Vamos precisar entender como encontrar a função distribuição acumulada (FDA) e a função densidade de , tanto no caso geral quanto quando as seguem distribuições exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função distribuição acumulada de FW(t) = 1 - P(W > t) . A FDA de , , é a probabilidade de que o menor tempo de falha seja menor ou igual a . Isso significa que pelo menos um dos componentes falhou até o tempo .
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
onde é a probabilidade de que todos os componentes sobrevivam além de .

Passo 3

Como as variáveis P(W > t) = P(T1 > t) times P(T2 > t) times cdots times P(Tn > t) são independentes, a probabilidade de todos sobreviverem além de P(W > t) = prodi=1^n [1 - Fi(t)] é o produto das probabilidades individuais:
Sabemos que , onde é a FDA de . Então:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de FW(t) = 1 - prodi=1^n [1 - Fi(t)] :
Essa é a FDA do tempo mínimo .

Passo 5

Agora, para encontrar a função densidade de fW(t) = ddt FW(t) = ddt [ 1 - prodi=1^n (1 - Fi(t)) ] , fW(t) = sumi=1^n fi(t) prodsubstackj=1 j neq i^n [1 - Fj(t)] , vamos derivar em relação a :
Simplificando:
Isso significa que a densidade de é a soma das densidades individuais multiplicadas pelas probabilidades de os outros componentes ainda não terem falhado até o tempo .

Passo 6

Agora vamos considerar o caso especial em que cada Ti sim Exponencial(lambdai) segue uma distribuição exponencial com parâmetro Fi(t) = 1 - e^-lambdai t :
fi(t) = lambdai e^-lambdai t
Para a distribuição exponencial, a FDA é:
E a função densidade é:

Passo 7

Vamos calcular FW(t) = 1 - prodi=1^n [1 - (1 - e^-lambdai t)] = 1 - prodi=1^n e^-lambdai t = 1 - e^- ( sumi=1^n lambdai ) t no caso exponencial. Substituindo na expressão geral:
Isso mostra que também segue uma distribuição exponencial, mas com parâmetro .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a função densidade fW(t) = Lambda e^-Lambda t = ( sumi=1^n lambdai ) e^ - ( sumi=1^n lambdai ) t para o caso exponencial. Sabemos que se é exponencial com parâmetro , então:

Resposta

A função densidade do tempo mínimo fW(t) = ( sumi=1^n lambdai ) e^ - ( sumi=1^n lambdai ) t quando são variáveis exponenciais com parâmetros é dada por:

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