Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a densidade de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona normalmente enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estiverem carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga que segue a função de densidade de probabilidade para . Queremos descobrir a densidade de probabilidade do tempo em que a máquina para de funcionar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística de ordem, especificamente estatísticas de ordem de uma amostra. Também vamos usar integrais para encontrar a função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é o tempo que a máquina continua funcionando, ou seja, é o segundo menor tempo de carga entre as três baterias. Em termos de estatísticas de ordem, é a segunda estatística de ordem de uma amostra de tamanho 3.
Passo 3
A função de densidade da -ésima estatística de ordem em uma amostra de tamanho é dada por:
Aqui, é a função de distribuição acumulada da variável aleatória .
Passo 4
Para o nosso caso, queremos a segunda estatística de ordem () em uma amostra de 3 baterias (). Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a função de distribuição acumulada . Sabemos que: