Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade f(t)=t e^-t, t>0. Seja N(t) o total de baterias funcionando após t dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a densidade de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona normalmente enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estiverem carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga que segue a função de densidade de probabilidade para . Queremos descobrir a densidade de probabilidade do tempo em que a máquina para de funcionar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística de ordem, especificamente estatísticas de ordem de uma amostra. Também vamos usar integrais para encontrar a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é o tempo que a máquina continua funcionando, ou seja, é o segundo menor tempo de carga entre as três baterias. Em termos de estatísticas de ordem, é a segunda estatística de ordem de uma amostra de tamanho 3.

Passo 3

A função de densidade da f(k)(t) = n!(k-1)! (n-k)! [F(t)]^k-1 [1 - F(t)]^n - k f(t) -ésima estatística de ordem em uma amostra de tamanho é dada por:
Aqui, é a função de distribuição acumulada da variável aleatória .

Passo 4

Para o nosso caso, queremos a segunda estatística de ordem ( f(2)(t) = 3!1! cdot 1! [F(t)]^1 [1 - F(t)]^1 f(t) = 6 F(t) [1 - F(t)] f(t) ) em uma amostra de 3 baterias ( ). Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a função de distribuição acumulada F(t) = integral0^t f(s) ds = integral0^t s e^-s ds . Sabemos que:

Passo 6

Calculando a integral:
F(t) = -s e^-s - e^-s |0^t = -t e^-t - e^-t + 0 + 1 = 1 - e^-t(t + 1)

Passo 7

Então, e .

Passo 8

Substituindo fT(t) = 6 [1 - e^-t(t + 1)] cdot e^-t(t + 1) cdot t e^-t e na expressão da densidade:

Passo 9

Simplificando a expressão:
fT(t) = 6 t (t + 1) e^-3t [1 - e^-t(t + 1)]

Resposta

A densidade de fT(t) = 6 t (t + 1) e^-3t [1 - e^-t(t + 1)], t > 0 é dada por:

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