Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a densidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que funciona normalmente enquanto pelo menos 2 das 3 baterias estiverem carregadas. Cada bateria tem um tempo de carga que segue a função de densidade de probabilidade para . Queremos descobrir a densidade de probabilidade do tempo em que a máquina para de funcionar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística de ordem, especificamente estatísticas de ordem de uma amostra. Também vamos usar integrais para encontrar a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é o tempo que a máquina continua funcionando, ou seja, é o segundo menor tempo de carga entre as três baterias. Em termos de estatísticas de ordem, é a segunda estatística de ordem de uma amostra de tamanho 3.

Passo 3

A função de densidade da -ésima estatística de ordem em uma amostra de tamanho é dada por:
Aqui, é a função de distribuição acumulada da variável aleatória .

Passo 4

Para o nosso caso, queremos a segunda estatística de ordem ( ) em uma amostra de 3 baterias ( ). Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a função de distribuição acumulada . Sabemos que:

Passo 6

Calculando a integral:

Passo 7

Então, e .

Passo 8

Substituindo e na expressão da densidade:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A densidade de é dada por:

Exercícios relacionados

Se é uniformemente distribuído em um quadrado de lado 2, centrado em (ou seja, no exercício anterior), calcule .
Determinado contador recebeu uma demanda com 50 contas para serem auditadas. Sabe-se que os tempos gastos para que ele faça a auditoria em cada conta são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média de 20 minutos e variância de 16 minutos2. Ao utilizar o teorema do limite central, qual a probabilidade aproximada de que sejam gastos menos de 450 minutos para auditar 25 contas? Observação: , onde .
a)
b)
c)
d)
e)
Dada uma variável aleatória contínua e positiva com densidade , definimos a taxa de risco de por
onde é a função distribuição acumulada de .
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante . Ou seja,
Considere agora variáveis positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por , e defina . Com estas informações em mente, faça o que se pede.
Repita os itens anteriores no caso em que
Tabela 3: Distribuição dos salários dos funcionários
Salários
20
40
30
10
Pede-se:
(a) Sabendo-se que o valor da mediana é igual a , determine o valor de . Resposta: 100 .