Tabela 3: Distribuição dos salários dos funcionários
Salários
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20 |
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40 |
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30 |
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10 |
Pede-se:
(a) Sabendo-se que o valor da mediana é igual a , determine o valor de
. Resposta: 100 .
(a) Sabendo-se que o valor da mediana é igual a
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição dos salários dos funcionários em diferentes faixas de valores. O exercício pede para descobrir o valor de
, que representa a frequência de funcionários que ganham entre R$2500 e R$3500, sabendo que a mediana desse conjunto de dados é R$2900,00. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição de frequência e como calcular a mediana em uma tabela de distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a mediana. A mediana é o valor que separa a metade dos dados acima dela e a outra metade abaixo. Em outras palavras, é o valor central quando os dados estão ordenados. No nosso caso, sabemos que a mediana é R$2900,00.
Passo 3
Agora, vamos organizar a tabela e adicionar a frequência acumulada para cada faixa salarial. A frequência acumulada nos ajuda a ver quantos funcionários ganham até determinado intervalo.
Vamos montar a tabela:
Salários
|
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Frequência Acumulada |
---|---|---|
500 a 1500 | 20 | 20 |
1500 a 2500 | 40 | 60 (20 + 40) |
2500 a 3500 |
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3500 a 4500 | 30 |
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4500 a 5500 | 10 |
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Passo 4
Sabemos que a mediana está no ponto onde a frequência acumulada atinge 50% do total. Primeiro, precisamos descobrir o total de funcionários. A soma das frequências é:
A mediana está no meio desse total, então a posição da mediana é:
Dado que a mediana é R$2900,00, vamos identificar em qual faixa salarial esse valor cai. R$2900,00 está na faixa de R$2500 a R$3500.
Passo 5
Agora, para encontrar
, vamos usar a fórmula da mediana para distribuição de frequência:
Onde:
-
é o limite inferior da classe mediana (2500); -
é o total de frequências ( ); -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (60); -
é a frequência da classe mediana ( ); -
é a amplitude da classe ( ).
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos resolver a equação passo a passo:
- Primeiro, calculamos
:
- Subtraímos 60:
- Colocamos de volta na equação da mediana:
- Simplificamos a fração:
- Agora, substituímos de volta:
- Subtraímos 2500 de ambos os lados:
- Dividimos ambos os lados por 1000:
- Multiplicamos ambos os lados por
:
- Subtraímos
de ambos os lados:
- Finalmente, dividimos ambos os lados por 0,2:
No entanto, uma frequência não pode ser negativa. Isso indica que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar:
Passo 7
Revisando o Passo 6, vamos ajustar o sinal:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por -0,2:
Resposta
O valor de
é 100.