Tabela 3: Distribuição dos salários dos funcionários
Salários
20
40
30
10
Pede-se:
(a) Sabendo-se que o valor da mediana é igual a , determine o valor de . Resposta: 100 .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição dos salários dos funcionários em diferentes faixas de valores. O exercício pede para descobrir o valor de , que representa a frequência de funcionários que ganham entre R$2500 e R$3500, sabendo que a mediana desse conjunto de dados é R$2900,00. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição de frequência e como calcular a mediana em uma tabela de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a mediana. A mediana é o valor que separa a metade dos dados acima dela e a outra metade abaixo. Em outras palavras, é o valor central quando os dados estão ordenados. No nosso caso, sabemos que a mediana é R$2900,00.

Passo 3

Agora, vamos organizar a tabela e adicionar a frequência acumulada para cada faixa salarial. A frequência acumulada nos ajuda a ver quantos funcionários ganham até determinado intervalo.
Vamos montar a tabela:
Salários Frequência Acumulada
500 a 1500 20 20
1500 a 2500 40 60 (20 + 40)
2500 a 3500
3500 a 4500 30
4500 a 5500 10

Passo 4

Sabemos que a mediana está no ponto onde a frequência acumulada atinge 50% do total. Primeiro, precisamos descobrir o total de funcionários. A soma das frequências é:
A mediana está no meio desse total, então a posição da mediana é:
Dado que a mediana é R$2900,00, vamos identificar em qual faixa salarial esse valor cai. R$2900,00 está na faixa de R$2500 a R$3500.

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos usar a fórmula da mediana para distribuição de frequência:
Onde:
  • é o limite inferior da classe mediana (2500);
  • é o total de frequências ( );
  • é a frequência acumulada antes da classe mediana (60);
  • é a frequência da classe mediana ( );
  • é a amplitude da classe ( ).
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos resolver a equação passo a passo:
  1. Primeiro, calculamos :
  1. Subtraímos 60:
  1. Colocamos de volta na equação da mediana:
  1. Simplificamos a fração:
  1. Agora, substituímos de volta:
  1. Subtraímos 2500 de ambos os lados:
  1. Dividimos ambos os lados por 1000:
  1. Multiplicamos ambos os lados por :
  1. Subtraímos de ambos os lados:
  1. Finalmente, dividimos ambos os lados por 0,2:
No entanto, uma frequência não pode ser negativa. Isso indica que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar:

Passo 7

Revisando o Passo 6, vamos ajustar o sinal:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, dividindo ambos os lados por -0,2:

Resposta

O valor de é 100.

Exercícios relacionados

Dada uma variável aleatória contínua e positiva com densidade , definimos a taxa de risco de por
onde é a função distribuição acumulada de .
Se representa o tempo de falha de algum componente, a taxa de risco pode ser interpretada como a taxa com a qual ocorre a falha, dado que o componente ainda não falhou no instante . Ou seja,
Considere agora variáveis positivas e independentes, com funções densidade dadas respectivamente por , e defina . Com estas informações em mente, faça o que se pede.
Repita os itens anteriores no caso em que
Uma máquina funciona normalmente enquanto 2 de suas 3 baterias esteja com carga. Os tempos de carga em dias das 3 baterias são independentes com densidade de probabilidade . Seja o total de baterias funcionando após dias, e o tempo de funcionamento da máquina.
Encontre a densidade de .
Considerando que os dados são amostrais, pede-se:
(a) Determine média, moda, mediana, desvio-padrão e variância considerando os dados brutos (use quatro casas decimais.)
Resposta: 6,3800 segundos; 4,9000 segundos e 5,7000 segundos; 5,9500 segundos; 1,6766 segundos; 2,8110 segundos .
Tabela 2: Distribuição etária dos consumidores
Idade (em anos) n. de consumidores
10
15
24
37
14
Total 100
Fonte: Dados hipotéticos.
Pede-se:
(a) Determine a moda a partir do Método de Czuber (use quatro casas decimais). Interprete. Resposta: anos