Dadas as alternativas seguintes, assinale a que indica o valor da área da região delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 4 + x².
Alternativas
Alternativa 1:0.
Alternativa 2:1/3.
Alternativa 3:16/3.
Alternativa 4:32/3.
Alternativa 5:32
Alternativas
Alternativa 1:0.
Alternativa 2:1/3.
Alternativa 3:16/3.
Alternativa 4:32/3.
Alternativa 5:32
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas $ y = 2x² $ e $ y = 4 + x² $. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de integração, onde a gente calcula a área entre duas curvas. Pra resolver isso, vamos precisar achar onde essas duas curvas se encontram e, depois, integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo $ x² $ de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está por cima nesse intervalo. Vamos testar com $ x = 0 $:
Para $ y = 2x² $:
Para $ y = 4 + x² $:
Vemos que, no meio, a curva $ y = 4 + x² $ está acima de $ y = 2x² $. Então, a diferença entre as duas funções será a que vamos integrar para encontrar a área.
Passo 4
A fórmula para calcular a área entre duas curvas $ y_{top} $ e $ y_{bottom} $ de $ a $ a $ b $ é:
Substituindo as funções que temos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular os valores nos limites de $ x = 2 $ e $ x = -2 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Agora, subtraímos os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{32}{3} $.